En matemáticas necesitamos frecuentemente hablar de colecciones de objetos.
Por ejemplo, podemos considerar:
Un conjunto es una colección de objetos considerados conjuntamente.
Los objetos que forman parte de un conjunto reciben el nombre de elementos.
La teoría de conjuntos proporciona un lenguaje común para describir muchas estructuras matemáticas. Utilizaremos conjuntos posteriormente para definir relaciones, funciones, intervalos, espacios y otros conceptos.
Para indicar que un objeto x pertenece a un conjunto A escribiremos
x en A.
Esto significa que x es uno de los elementos de A.
Por ejemplo, si
A = {1, 2, 3},
entonces
1 en A
y
3 en A.
En cambio,
4 noen A.
La relación de pertenencia se establece entre un objeto y un conjunto.
En
x en A,
x es un elemento y A es un conjunto.
Cuando un conjunto tiene pocos elementos, podemos describirlo enumerándolos entre llaves.
Por ejemplo,
A = {1, 2, 3}.
El orden en que enumeramos los elementos no importa:
{1, 2, 3} = {3, 1, 2}.
Tampoco importa repetir un elemento:
{1, 2, 2, 3} = {1, 2, 3}.
Un conjunto queda determinado por cuáles son sus elementos, no por el orden en que los escribamos ni por el número de veces que los repitamos.
Esto diferencia los conjuntos de otras estructuras, como las sucesiones, en las que el orden sí importa.
No siempre podemos o queremos enumerar todos los elementos de un conjunto. entre otros motivos, hay conjuntos que contienen infinitos elementos, y por tanto no pueden escribirse.
Podemos describir un conjunto indicando una propiedad que deben cumplir sus elementos.
Por ejemplo, podemos definir el conjunto de números reales positivos mediante
{x en R : x > 0}.
Esta expresión se lee:
“el conjunto de los x pertenecientes a R tales que x es mayor que 0”.
Otro ejemplo:
{x en R : x^2 = 4}
describe el conjunto
{-2, 2}.
En general,
{x en A : P(x)}
representa el conjunto formado por los elementos x de A que satisfacen la propiedad P.
La definición de un conjunto por enumeración de sus miembros se llama extensional, y por las propiedades suficientes se denomina intensional.
Decimos que A es un subconjunto de B cuando todos los elementos de A pertenecen también a B.
Lo escribiremos
A sub B.
Formalmente,
A sub B <-> pt x: x en A -> x en B.
Por ejemplo,
{1, 2} sub {1, 2, 3}.
Todo conjunto es subconjunto de sí mismo:
A sub A.
También se cumple la transitividad de la inclusión.
Si
A sub B
y
B sub C,
entonces
A sub C.
Es importante distinguir
x en A
de
B sub A.
La primera expresión afirma que x es un elemento de A.
La segunda afirma que B es un conjunto y que todos sus elementos pertenecen a A.
Por ejemplo, si
A = {1, 2, 3},
entonces
1 en A
y
{1} sub A.
Pero estas dos afirmaciones expresan relaciones diferentes.
Además, en general no podemos intercambiarlas.
Por ejemplo,
{1} en A
es falso para el conjunto A anterior, porque los elementos de A son 1, 2 y 3, no el conjunto {1}.
Existe un conjunto que no contiene ningún elemento. Lo llamamos conjunto vacío y escribiremos
{}
Por definición,
no(exi x: x en {}).
El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto:
{} sub A.
Para comprobarlo, tendríamos que encontrar algún elemento del conjunto vacío que no perteneciera a A.
Pero el conjunto vacío no tiene elementos.
Por tanto, no existe ningún elemento que pueda incumplir la condición requerida para ser subconjunto de A.
Esta es una aplicación de la verdad vacía: una afirmación universal sobre los elementos de un conjunto vacío es verdadera porque no existe ningún elemento que pueda constituir un contraejemplo.
Dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen exactamente los mismos elementos.
Por tanto,
A = B
si y sólo si todo elemento de A pertenece a B y todo elemento de B pertenece a A.
Simbólicamente,
A = B <-> (pt x: x en A -> x en B) y (pt x: x en B -> x en A).
Esto es equivalente a predicar que
A sub B y B sub A.
Esta propiedad proporciona una técnica muy común para demostrar la igualdad entre dos conjuntos.
Para demostrar
A = B,
podemos demostrar por separado:
Este procedimiento se denomina demostración por doble inclusión.
Podemos construir nuevos conjuntos a partir de otros mediante diferentes operaciones.
La unión de dos conjuntos A y B contiene los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos.
Escribiremos
A union B.
Formalmente,
x en (A union B) <-> x en A o x en B.
Por ejemplo, si
A = {1, 2, 3}
y
B = {3, 4, 5},
entonces
A union B = {1, 2, 3, 4, 5}.
El elemento 3 aparece una sola vez porque la repetición de elementos no altera un conjunto.
La intersección de A y B contiene los elementos que pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos.
Escribiremos
A inter B.
Formalmente,
x en (A inter B) <-> x en A y x en B.
En el ejemplo anterior,
A inter B = {3}.
Si dos conjuntos no tienen ningún elemento en común, su intersección es el conjunto vacío:
A inter B = {}.
En ese caso decimos que A y B son disjuntos.
La diferencia entre A y B contiene los elementos que pertenecen a A pero no pertenecen a B.
Escribiremos
A \ B.
Formalmente,
x en (A \ B) <-> x en A y x noen B.
Por ejemplo, si
A = {1, 2, 3}
y
B = {3, 4, 5},
entonces
A \ B = {1, 2}.
La diferencia no es conmutativa.
En general,
A \ B != B \ A.
En nuestro ejemplo,
B \ A = {4, 5}.
Si estamos trabajando dentro de un conjunto U que contiene todos los objetos que estamos considerando, podemos definir el complemento de A respecto de U.
El complemento contiene los elementos de U que no pertenecen a A.
Podemos escribir
U \ A.
Por tanto,
x en (U \ A) <-> x en U y x noen A.
El complemento siempre depende del conjunto respecto del cual se toma.
Por ejemplo, el complemento de
A = {1, 2}
no significa nada por sí solo si no sabemos qué conjunto estamos utilizando como referencia.
La unión y la intersección son conmutativas:
A union B = B union A
A inter B = B inter A.
También son asociativas:
(A union B) union C = A union (B union C)
(A inter B) inter C = A inter (B inter C).
Y cada una distribuye sobre la otra:
A inter (B union C) = (A inter B) union (A inter C)
A union (B inter C) = (A union B) inter (A union C).
Estas propiedades pueden demostrarse utilizando la definición de igualdad de conjuntos.
Por ejemplo, para demostrar
A inter (B union C) = (A inter B) union (A inter C),
podemos tomar un elemento arbitrario x y estudiar las condiciones necesarias para que pertenezca a cada lado.
Tenemos
x en A inter (B union C)
si y sólo si
x en A y (x en B o x en C).
Por la distributividad de la conjunción lógica,
(x en A y x en B) o (x en A y x en C).
Esto equivale a
x en (A inter B) union (A inter C).
Por tanto, ambos conjuntos contienen exactamente los mismos elementos y son iguales.
Este ejemplo muestra la estrecha relación existente entre las operaciones con conjuntos y las operaciones de la lógica proposicional.
Dado un conjunto A, podemos considerar el conjunto formado por todos los subconjuntos de A.
Lo llamamos conjunto potencia de A y escribiremos
P(A).
Por definición,
B en P(A) <-> B sub A.
Por ejemplo, si
A = {1, 2},
entonces
P(A) = {{}, {1}, {2}, {1, 2}}.
Obsérvese aquí especialmente la diferencia entre pertenencia e inclusión:
{1} sub A
y, por ello,
{1} en P(A).
En un conjunto ordinario, el orden de los elementos no importa:
{a, b} = {b, a}.
Sin embargo, en muchas situaciones necesitamos representar dos objetos distinguiendo cuál ocupa la primera posición y cuál la segunda.
Utilizaremos para ello un par ordenado:
(a, b).
En general,
(a, b) != (b, a).
Dos pares ordenados son iguales exactamente cuando coinciden sus componentes correspondientes:
(a, b) = (c, d) <-> a = c y b = d.
Los pares ordenados pueden construirse formalmente mediante conjuntos, pero para los propósitos de este artículo utilizaremos directamente las propiedades anteriores.
Dados dos conjuntos A y B, el producto cartesiano
A x B
es el conjunto de todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece a A y cuya segunda componente pertenece a B.
Formalmente,
A x B = {(a,b) : a en A y b en B}.
Por ejemplo, si
A = {1, 2}
y
B = {a, b},
entonces
A x B = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b)}.
En general,
A x B != B x A,
porque los pares ordenados distinguen entre su primera y su segunda componente.
El producto cartesiano será especialmente importante para definir relaciones y funciones.
Los intervalos de números reales son conjuntos definidos mediante desigualdades.
Por ejemplo,
{x en R : 0 < x < 1}
es el conjunto de todos los números reales estrictamente comprendidos entre 0 y 1.
Podemos utilizar una notación abreviada para los intervalos.
El intervalo abierto entre a y b contiene los números estrictamente comprendidos entre ambos:
(a,b) = {x en R : a < x < b}.
El intervalo cerrado incluye también sus extremos:
[a,b] = {x en R : a <= x <= b}.
También podemos incluir solamente uno de los extremos:
[a,b) = {x en R : a <= x < b}
(a,b] = {x en R : a < x <= b}.
Esta notación será especialmente útil al estudiar funciones, límites y continuidad.
Resolver una ecuación o desigualdad puede entenderse como encontrar un conjunto.
Por ejemplo, la desigualdad
x^2 < 4
tiene como conjunto de soluciones
{x en R : x^2 < 4}.
Como
x^2 < 4
equivale a
-2 < x < 2,
podemos escribir el conjunto de soluciones como
(-2,2).
Este punto de vista permite tratar de la misma manera ecuaciones, desigualdades y otras condiciones matemáticas: buscamos el conjunto de objetos que satisfacen una determinada propiedad.
Sean
A = {1, 2, 3}
y
B = {2, 3, 4}.
Calcula:
* A union B. * A inter B. * A \ B. * B \ A.
Sean
A = {1, 2}
y
B = {a, b, c}.
Escribe todos los elementos de
A x B.
Sea
A = {1, 2, 3}.
Determina cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas:
* 1 en A. * {1} en A. * {1} sub A. * {} sub A. * {} en A.
Explica la diferencia entre las respuestas.
Escribe el conjunto potencia de
A = {a, b, c}.
Describe mediante desigualdades el intervalo
[-2,5).
Describe mediante notación de intervalo el conjunto
{x en R : 3 < x <= 7}.
Demuestra que
A inter B sub A.
Demuestra mediante doble inclusión que
A union {} = A.
Demuestra que
A inter (B union C) = (A inter B) union (A inter C).
A union B = {1, 2, 3, 4}.
A inter B = {2, 3}.
A \ B = {1}.
B \ A = {4}.
A x B = {(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c)}.
1 en A es verdadera.
{1} en A es falsa, porque {1} no es uno de los elementos enumerados en A.
{1} sub A es verdadera, porque el único elemento de {1}, que es 1, pertenece a A.
{} sub A es verdadera, porque el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto.
{} en A es falsa, porque el conjunto vacío no aparece como elemento de A.
Este ejercicio muestra que pertenencia e inclusión son relaciones diferentes.
Los subconjuntos de
A = {a, b, c}
son
{},
{a},
{b},
{c},
{a,b},
{a,c},
{b,c}
y
{a,b,c}.
Por tanto,
P(A) = {{}, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}}.
El intervalo
[-2,5)
es
{x en R : -2 <= x < 5}.
El conjunto
{x en R : 3 < x <= 7}
es el intervalo
(3,7].
Queremos demostrar
A inter B sub A.
Sea x un elemento arbitrario de A inter B.
Por definición de intersección,
x en A
y
x en B.
En particular,
x en A.
Por tanto, todo elemento de A inter B pertenece a A y hemos demostrado
A inter B sub A.
Queremos demostrar
A union {} = A.
Demostraremos ambas inclusiones.
Primero,
A union {} sub A.
Sea x en A union {}.
Por definición de unión,
x en A
o
x en {}.
El segundo caso es imposible porque {} no contiene ningún elemento.
Por tanto,
x en A.
Hemos demostrado
A union {} sub A.
Ahora demostramos
A sub A union {}.
Sea x en A.
Por definición de unión, basta que x pertenezca a uno de los dos conjuntos para que
x en A union {}.
Por tanto,
A sub A union {}.
Como hemos demostrado ambas inclusiones,
A union {} = A.
Queremos demostrar
A inter (B union C) = (A inter B) union (A inter C).
Sea x un elemento cualquiera.
Tenemos
x en A inter (B union C)
si y sólo si
x en A y x en (B union C).
Por definición de unión,
x en A y (x en B o x en C).
Por distributividad lógica,
(x en A y x en B) o (x en A y x en C).
Por definición de intersección,
x en (A inter B) o x en (A inter C).
Por definición de unión,
x en (A inter B) union (A inter C).
Hemos demostrado que
x en A inter (B union C) <-> x en (A inter B) union (A inter C).
Por tanto, ambos conjuntos tienen exactamente los mismos elementos y
A inter (B union C) = (A inter B) union (A inter C).