En matemáticas necesitamos frecuentemente hablar de colecciones de objetos.
Por ejemplo, podemos considerar:
Un conjunto es una colección de objetos considerados conjuntamente.
Los objetos que forman parte de un conjunto reciben el nombre de elementos.
La teoría de conjuntos proporciona un lenguaje común para describir muchas estructuras matemáticas. Utilizaremos conjuntos posteriormente para definir relaciones, funciones, intervalos, espacios y otros conceptos.
Para indicar que un objeto x pertenece a un conjunto A escribiremos
x en A.
Esto significa que x es uno de los elementos de A.
Por ejemplo, si
A = {1, 2, 3},
entonces
1 en A
y
3 en A.
En cambio,
4 noen A.
La relación de pertenencia se establece entre un objeto y un conjunto.
En
x en A,
x es un elemento y A es un conjunto.
Cuando un conjunto tiene pocos elementos, podemos describirlo enumerándolos entre llaves.
Por ejemplo,
A = {1, 2, 3}.
El orden en que enumeramos los elementos no importa:
{1, 2, 3} = {3, 1, 2}.
Tampoco importa repetir un elemento:
{1, 2, 2, 3} = {1, 2, 3}.
Un conjunto queda determinado por cuáles son sus elementos, no por el orden en que los escribamos ni por el número de veces que los repitamos.
Esto diferencia los conjuntos de otras estructuras, como las sucesiones, en las que el orden sí importa.
No siempre podemos o queremos enumerar todos los elementos de un conjunto. entre otros motivos, hay conjuntos que contienen infinitos elementos, y por tanto no pueden escribirse.
Podemos describir un conjunto indicando una propiedad que deben cumplir sus elementos.
Por ejemplo, podemos definir el conjunto de números reales positivos mediante
{x en R : x > 0}.
Esta expresión se lee:
“el conjunto de los x pertenecientes a R tales que x es mayor que 0”.
Otro ejemplo:
{x en R : x^2 = 4}
describe el conjunto
{-2, 2}.
En general,
{x en A : P(x)}
representa el conjunto formado por los elementos x de A que satisfacen la propiedad P.
La definición de un conjunto por enumeración de sus miembros se llama extensional, y por las propiedades suficientes se denomina intensional.
Decimos que A es un subconjunto de B cuando todos los elementos de A pertenecen también a B.
Lo escribiremos
A sub B.
Formalmente,
A sub B <-> pt x: x en A -> x en B.
Por ejemplo,
{1, 2} sub {1, 2, 3}.
Todo conjunto es subconjunto de sí mismo:
A sub A.
También se cumple la transitividad de la inclusión.
Si
A sub B
y
B sub C,
entonces
A sub C.
Es importante distinguir
x en A
de
B sub A.
La primera expresión afirma que x es un elemento de A.
La segunda afirma que B es un conjunto y que todos sus elementos pertenecen a A.
Por ejemplo, si
A = {1, 2, 3},
entonces
1 en A
y
{1} sub A.
Pero estas dos afirmaciones expresan relaciones diferentes.
Además, en general no podemos intercambiarlas.
Por ejemplo,
{1} en A
es falso para el conjunto A anterior, porque los elementos de A son 1, 2 y 3, no el conjunto {1}.
Existe un conjunto que no contiene ningún elemento. Lo llamamos conjunto vacío y escribiremos
{}
Por definición,
no(exi x: x en {}).
El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto:
{} sub A.
Para comprobarlo, tendríamos que encontrar algún elemento del conjunto vacío que no perteneciera a A.
Pero el conjunto vacío no tiene elementos.
Por tanto, no existe ningún elemento que pueda incumplir la condición requerida para ser subconjunto de A.
Esta es una aplicación de la verdad vacía: una afirmación universal sobre los elementos de un conjunto vacío es verdadera porque no existe ningún elemento que pueda constituir un contraejemplo.
Dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen exactamente los mismos elementos.
Por tanto,
A = B
si y sólo si todo elemento de A pertenece a B y todo elemento de B pertenece a A.
Simbólicamente,
A = B <-> (pt x: x en A -> x en B) y (pt x: x en B -> x en A).
Esto es equivalente a predicar que
A sub B y B sub A.
Esta propiedad proporciona una técnica muy común para demostrar la igualdad entre dos conjuntos.
Para demostrar
A = B,
podemos demostrar por separado:
Este procedimiento se denomina demostración por doble inclusión.
Podemos construir nuevos conjuntos a partir de otros mediante diferentes operaciones.
La unión de dos conjuntos A y B contiene los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos.
Escribiremos
A union B.
Formalmente,
x en (A union B) <-> x en A o x en B.
Por ejemplo, si
A = {1, 2, 3}
y
B = {3, 4, 5},
entonces
A union B = {1, 2, 3, 4, 5}.
El elemento 3 aparece una sola vez porque la repetición de elementos no altera un conjunto.
La intersección de A y B contiene los elementos que pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos.
Escribiremos
A inter B.
Formalmente,
x en (A inter B) <-> x en A y x en B.
En el ejemplo anterior,
A inter B = {3}.
Si dos conjuntos no tienen ningún elemento en común, su intersección es el conjunto vacío:
A inter B = {}.
En ese caso decimos que A y B son disjuntos.
La diferencia entre A y B contiene los elementos que pertenecen a A pero no pertenecen a B.
Escribiremos
A \ B.
Formalmente,
x en (A \ B) <-> x en A y x noen B.
Por ejemplo, si
A = {1, 2, 3}
y
B = {3, 4, 5},
entonces
A \ B = {1, 2}.
La diferencia no es conmutativa.
En general,
A \ B != B \ A.
En nuestro ejemplo,
B \ A = {4, 5}.
Si estamos trabajando dentro de un conjunto U que contiene todos los objetos que estamos considerando, podemos definir el complemento de A respecto de U.
El complemento contiene los elementos de U que no pertenecen a A.
Podemos escribir
U \ A.
Por tanto,
x en (U \ A) <-> x en U y x noen A.
El complemento siempre depende del conjunto respecto del cual se toma.
Por ejemplo, el complemento de
A = {1, 2}
no significa nada por sí solo si no sabemos qué conjunto estamos utilizando como referencia.
La unión y la intersección son conmutativas:
A union B = B union A
A inter B = B inter A.
También son asociativas:
(A union B) union C = A union (B union C)
(A inter B) inter C = A inter (B inter C).
Y cada una distribuye sobre la otra:
A inter (B union C) = (A inter B) union (A inter C)
A union (B inter C) = (A union B) inter (A union C).
Estas propiedades pueden demostrarse utilizando la definición de igualdad de conjuntos.
Por ejemplo, para demostrar
A inter (B union C) = (A inter B) union (A inter C),
podemos tomar un elemento arbitrario x y estudiar las condiciones necesarias para que pertenezca a cada lado.
Tenemos
x en A inter (B union C)
si y sólo si
x en A y (x en B o x en C).
Por la distributividad de la conjunción lógica,
(x en A y x en B) o (x en A y x en C).
Esto equivale a
x en (A inter B) union (A inter C).
Por tanto, ambos conjuntos contienen exactamente los mismos elementos y son iguales.
Este ejemplo muestra la estrecha relación existente entre las operaciones con conjuntos y las operaciones de la lógica proposicional.
Las operaciones entre conjuntos satisfacen numerosas identidades que resultan útiles para simplificar expresiones y realizar demostraciones.
Aunque conviene familiarizarse con las más importantes, no es necesario memorizarlas todas. Muchas pueden reconstruirse estudiando qué significa que un elemento pertenezca a cada uno de los conjuntos implicados.
Existe una estrecha relación entre las operaciones con conjuntos y las operaciones de la lógica.
Para un elemento x,
x en A inter B
si y sólo si
x en A y x en B.
Por tanto,
x en A inter B <-> x en A y x en B.
De forma análoga,
x en A union B <-> x en A o x en B.
Si todos los conjuntos considerados son subconjuntos de un conjunto de referencia U, podemos representar el complemento de A mediante
U \ A.
Para x en U,
x en U \ A <-> no(x en A).
La inclusión también puede expresarse lógicamente:
A sub B <-> pt x: x en A -> x en B.
Por último, dos conjuntos son iguales cuando tienen exactamente los mismos elementos:
A = B <-> pt x: x en A <-> x en B.
Por tanto, podemos establecer la siguiente correspondencia:
La correspondencia no significa que una operación conjuntista y una operación lógica sean literalmente el mismo objeto. Significa que la pertenencia a los conjuntos resultantes se caracteriza mediante las operaciones lógicas correspondientes.
Esta relación permite trasladar muchas identidades lógicas a identidades entre conjuntos.
La unión o intersección de un conjunto consigo mismo no lo modifica:
A union A = A
A inter A = A.
Podemos comprobar la primera identidad tomando un elemento cualquiera x:
x en A union A <->
x en A o x en A <->
x en A.
De manera análoga,
x en A inter A <->
x en A y x en A <->
x en A.
Por tanto,
A union A = A
y
A inter A = A.
El conjunto vacío actúa de manera diferente respecto de la unión y la intersección:
A union {} = A
A inter {} = {}.
Para la unión,
x en A union {} <->
x en A o x en {} <->
x en A,
porque ningún elemento pertenece a {}.
Para la intersección,
x en A inter {} <->
x en A y x en {}.
La segunda condición nunca se cumple, por lo que ningún x pertenece a la intersección. Así,
A inter {} = {}.
Si trabajamos dentro de un conjunto de referencia U, también tenemos
A union U = U
A inter U = A.
La unión y la intersección son conmutativas:
A union B = B union A
A inter B = B inter A.
Por ejemplo,
x en A union B <->
x en A o x en B <->
x en B o x en A <->
x en B union A.
La demostración para la intersección es análoga y utiliza la conmutatividad de la conjunción lógica.
La unión y la intersección son asociativas:
(A union B) union C = A union (B union C)
(A inter B) inter C = A inter (B inter C).
Por ejemplo,
x en (A union B) union C <->
(x en A o x en B) o x en C <->
x en A o (x en B o x en C) <->
x en A union (B union C).
Gracias a la asociatividad podemos escribir expresiones como
A union B union C
sin necesidad de indicar mediante paréntesis qué unión se realiza primero.
Lo mismo ocurre con la intersección.
La intersección distribuye sobre la unión:
A inter (B union C) = (A inter B) union (A inter C).
Para demostrarlo, tomamos un elemento cualquiera x:
x en A inter (B union C) <->
x en A y (x en B o x en C) <->
(x en A y x en B) o (x en A y x en C) <->
x en (A inter B) union (A inter C).
También la unión distribuye sobre la intersección:
A union (B inter C) = (A union B) inter (A union C).
La demostración sigue el mismo procedimiento:
x en A union (B inter C) <->
x en A o (x en B y x en C) <->
(x en A o x en B) y (x en A o x en C) <->
x en (A union B) inter (A union C).
En la aritmética, el producto distribuye sobre la suma:
a*(b+c) = a*b+a*c.
Sin embargo, la suma no distribuye sobre el producto. En general,
a+(b*c) != (a+b)*(a+c).
En cambio, para las operaciones con conjuntos, la intersección distribuye sobre la unión y la unión distribuye sobre la intersección.
Esta propiedad recibe a veces el nombre de doble distributividad.
La unión y la intersección satisfacen las siguientes identidades de absorción:
A union (A inter B) = A
A inter (A union B) = A.
Para la primera,
x en A union (A inter B) <->
x en A o (x en A y x en B) <->
x en A.
La proposición
P o (P y Q)
equivale simplemente a P.
Análogamente,
P y (P o Q)
equivale a P,
lo que proporciona la segunda identidad.
Supongamos que trabajamos dentro de un conjunto de referencia U.
El complemento de A respecto de U es
U \ A.
Tenemos:
A union (U \ A) = U
A inter (U \ A) = {}
U \ (U \ A) = A.
Las dos primeras identidades corresponden a las propiedades lógicas
P o no(P)
y
P y no(P).
En lógica clásica, la primera es siempre verdadera y la segunda siempre falsa.
Nota constructiva: la identidad
A union (U \ A) = U
depende, para conjuntos definidos mediante propiedades arbitrarias, de poder decidir para cada x en U si x en A o x noen A. En un marco constructivo esta propiedad no puede darse por supuesta para cualquier conjunto o predicado. En cambio,
A inter (U \ A) = {}
no requiere la ley del tercero excluido.
El complemento transforma uniones en intersecciones e intersecciones en uniones.
Tenemos
U \ (A union B) = (U \ A) inter (U \ B)
y
U \ (A inter B) = (U \ A) union (U \ B).
La primera identidad puede demostrarse traduciendo la pertenencia a lógica:
x en U \ (A union B) <->
no(x en A union B) <->
no(x en A o x en B) <->
no(x en A) y no(x en B) <->
x en (U \ A) inter (U \ B).
La segunda corresponde a la otra ley de De Morgan:
no(P y Q) <-> no(P) o no(Q).
Nota constructiva: conviene distinguir las dos direcciones de esta última equivalencia. La implicación
no(P) o no(Q) -> no(P y Q)
es constructivamente válida, pero la implicación inversa no lo es en general. Por tanto, la segunda identidad de De Morgan requiere principios clásicos cuando se interpreta sobre predicados arbitrarios.
La diferencia puede expresarse mediante intersección y complemento:
A \ B = A inter (U \ B),
si A y B son subconjuntos del conjunto de referencia U.
También se cumplen:
A \ {} = A
{} \ A = {}
A \ A = {}.
Otra identidad útil es
(A \ B) \ C = A \ (B union C).
Podemos reconstruirla mediante lógica:
x en (A \ B) \ C <->
x en A y no(x en B) y no(x en C) <->
x en A y no(x en B o x en C) <->
x en A \ (B union C).
La inclusión permite obtener varias propiedades útiles.
Si
A sub B,
entonces
A inter B = A
y
A union B = B.
También se cumple el recíproco:
A sub B <-> A inter B = A
y
A sub B <-> A union B = B.
Estas equivalencias proporcionan distintas maneras de demostrar una inclusión.
Por ejemplo, en lugar de demostrar directamente
A sub B,
en algunos casos puede resultar más cómodo demostrar
A inter B = A.
La técnica general utilizada en las demostraciones anteriores merece hacerse explícita.
Para demostrar
A = B,
podemos tomar un elemento arbitrario x y demostrar
x en A <-> x en B.
Si conseguimos transformar la condición de pertenencia a A en la condición de pertenencia a B mediante equivalencias lógicas, hemos demostrado que ambos conjuntos tienen exactamente los mismos elementos.
Por ejemplo:
x en A inter (B union C) <->
x en A y (x en B o x en C) <->
(x en A y x en B) o (x en A y x en C) <->
x en (A inter B) union (A inter C).
Por tanto,
A inter (B union C) = (A inter B) union (A inter C).
Este procedimiento permite reconstruir muchas identidades entre conjuntos sin necesidad de memorizarlas.
Para conjuntos A, B y C:
Si A, B sub U:
Para la inclusión:
Dado un conjunto A, podemos considerar el conjunto formado por todos los subconjuntos de A.
Lo llamamos conjunto potencia de A y escribiremos
P(A).
Por definición,
B en P(A) <-> B sub A.
Por ejemplo, si
A = {1, 2},
entonces
P(A) = {{}, {1}, {2}, {1, 2}}.
Obsérvese aquí especialmente la diferencia entre pertenencia e inclusión:
{1} sub A
y, por ello,
{1} en P(A).
En un conjunto ordinario, el orden de los elementos no importa:
{a, b} = {b, a}.
Sin embargo, en muchas situaciones necesitamos representar dos objetos distinguiendo cuál ocupa la primera posición y cuál la segunda.
Utilizaremos para ello un par ordenado:
(a, b).
En general,
(a, b) != (b, a).
Dos pares ordenados son iguales exactamente cuando coinciden sus componentes correspondientes:
(a, b) = (c, d) <-> a = c y b = d.
Los pares ordenados pueden construirse formalmente mediante conjuntos, pero para los propósitos de este artículo utilizaremos directamente las propiedades anteriores.
Dados dos conjuntos A y B, el producto cartesiano
A x B
es el conjunto de todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece a A y cuya segunda componente pertenece a B.
Formalmente,
A x B = {(a,b) : a en A y b en B}.
Por ejemplo, si
A = {1, 2}
y
B = {a, b},
entonces
A x B = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b)}.
En general,
A x B != B x A,
porque los pares ordenados distinguen entre su primera y su segunda componente.
El producto cartesiano será especialmente importante para definir relaciones y funciones.
Los intervalos de números reales son conjuntos definidos mediante desigualdades.
Por ejemplo,
{x en R : 0 < x < 1}
es el conjunto de todos los números reales estrictamente comprendidos entre 0 y 1.
Podemos utilizar una notación abreviada para los intervalos.
El intervalo abierto entre a y b contiene los números estrictamente comprendidos entre ambos:
(a,b) = {x en R : a < x < b}.
El intervalo cerrado incluye también sus extremos:
[a,b] = {x en R : a <= x <= b}.
También podemos incluir solamente uno de los extremos:
[a,b) = {x en R : a <= x < b}
(a,b] = {x en R : a < x <= b}.
Esta notación será especialmente útil al estudiar funciones, límites y continuidad.
Resolver una ecuación o desigualdad puede entenderse como encontrar un conjunto.
Por ejemplo, la desigualdad
x^2 < 4
tiene como conjunto de soluciones
{x en R : x^2 < 4}.
Como
x^2 < 4
equivale a
-2 < x < 2,
podemos escribir el conjunto de soluciones como
(-2,2).
Este punto de vista permite tratar de la misma manera ecuaciones, desigualdades y otras condiciones matemáticas: buscamos el conjunto de objetos que satisfacen una determinada propiedad.
Sean
A = {1, 2, 3}
y
B = {2, 3, 4}.
Calcula:
* A union B. * A inter B. * A \ B. * B \ A.
Sean
A = {1, 2}
y
B = {a, b, c}.
Escribe todos los elementos de
A x B.
Sea
A = {1, 2, 3}.
Determina cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas:
* 1 en A. * {1} en A. * {1} sub A. * {} sub A. * {} en A.
Explica la diferencia entre las respuestas.
Escribe el conjunto potencia de
A = {a, b, c}.
Describe mediante desigualdades el intervalo
[-2,5).
Describe mediante notación de intervalo el conjunto
{x en R : 3 < x <= 7}.
Demuestra que
A inter B sub A.
Demuestra mediante doble inclusión que
A union {} = A.
Demuestra que
A inter (B union C) = (A inter B) union (A inter C).
A union B = {1, 2, 3, 4}.
A inter B = {2, 3}.
A \ B = {1}.
B \ A = {4}.
A x B = {(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c)}.
1 en A es verdadera.
{1} en A es falsa, porque {1} no es uno de los elementos enumerados en A.
{1} sub A es verdadera, porque el único elemento de {1}, que es 1, pertenece a A.
{} sub A es verdadera, porque el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto.
{} en A es falsa, porque el conjunto vacío no aparece como elemento de A.
Este ejercicio muestra que pertenencia e inclusión son relaciones diferentes.
Los subconjuntos de
A = {a, b, c}
son
{},
{a},
{b},
{c},
{a,b},
{a,c},
{b,c}
y
{a,b,c}.
Por tanto,
P(A) = {{}, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}}.
El intervalo
[-2,5)
es
{x en R : -2 <= x < 5}.
El conjunto
{x en R : 3 < x <= 7}
es el intervalo
(3,7].
Queremos demostrar
A inter B sub A.
Sea x un elemento arbitrario de A inter B.
Por definición de intersección,
x en A
y
x en B.
En particular,
x en A.
Por tanto, todo elemento de A inter B pertenece a A y hemos demostrado
A inter B sub A.
Queremos demostrar
A union {} = A.
Demostraremos ambas inclusiones.
Primero,
A union {} sub A.
Sea x en A union {}.
Por definición de unión,
x en A
o
x en {}.
El segundo caso es imposible porque {} no contiene ningún elemento.
Por tanto,
x en A.
Hemos demostrado
A union {} sub A.
Ahora demostramos
A sub A union {}.
Sea x en A.
Por definición de unión, basta que x pertenezca a uno de los dos conjuntos para que
x en A union {}.
Por tanto,
A sub A union {}.
Como hemos demostrado ambas inclusiones,
A union {} = A.
Queremos demostrar
A inter (B union C) = (A inter B) union (A inter C).
Sea x un elemento cualquiera.
Tenemos
x en A inter (B union C)
si y sólo si
x en A y x en (B union C).
Por definición de unión,
x en A y (x en B o x en C).
Por distributividad lógica,
(x en A y x en B) o (x en A y x en C).
Por definición de intersección,
x en (A inter B) o x en (A inter C).
Por definición de unión,
x en (A inter B) union (A inter C).
Hemos demostrado que
x en A inter (B union C) <-> x en (A inter B) union (A inter C).
Por tanto, ambos conjuntos tienen exactamente los mismos elementos y
A inter (B union C) = (A inter B) union (A inter C).