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conceptos:conjuntos [2026/08/24 06:24] – [Notación] modulusconceptos:conjuntos [2026/08/24 06:39] (actual) – modulus
Línea 15: Línea 15:
 Un conjunto es una colección de objetos considerados conjuntamente. Un conjunto es una colección de objetos considerados conjuntamente.
  
-Los objetos que forman parte de un conjunto reciben el nombre de enentos.+Los objetos que forman parte de un conjunto reciben el nombre de elementos.
  
 La teoría de conjuntos proporciona un lenguaje común para describir muchas estructuras matemáticas. Utilizaremos conjuntos posteriormente para definir relaciones, funciones, intervalos, espacios y otros conceptos. La teoría de conjuntos proporciona un lenguaje común para describir muchas estructuras matemáticas. Utilizaremos conjuntos posteriormente para definir relaciones, funciones, intervalos, espacios y otros conceptos.
Línea 25: Línea 25:
 x en A. x en A.
  
-Esto significa que x es uno de los enentos de A.+Esto significa que x es uno de los elementos de A.
  
 Por ejemplo, si Por ejemplo, si
Línea 49: Línea 49:
 x en A, x en A,
  
-x es un enento y A es un conjunto.+x es un elemento y A es un conjunto.
  
-===== Describir un conjunto enumerando sus enentos =====+===== Describir un conjunto enumerando sus elementos =====
  
-Cuando un conjunto tiene pocos enentos, podemos describirlo enumerándolos entre llaves.+Cuando un conjunto tiene pocos elementos, podemos describirlo enumerándolos entre llaves.
  
 Por ejemplo, Por ejemplo,
Línea 59: Línea 59:
 A = {1, 2, 3}. A = {1, 2, 3}.
  
-El orden en que enumeramos los enentos no importa:+El orden en que enumeramos los elementos no importa:
  
 {1, 2, 3} = {3, 1, 2}. {1, 2, 3} = {3, 1, 2}.
  
-Tampoco importa repetir un enento:+Tampoco importa repetir un elemento:
  
 {1, 2, 2, 3} = {1, 2, 3}. {1, 2, 2, 3} = {1, 2, 3}.
  
-Un conjunto queda determinado por cuáles son sus enentos, no por el orden en que los escribamos ni por el número de veces que los repitamos.+Un conjunto queda determinado por cuáles son sus elementos, no por el orden en que los escribamos ni por el número de veces que los repitamos.
  
 Esto diferencia los conjuntos de otras estructuras, como las sucesiones, en las que el orden sí importa. Esto diferencia los conjuntos de otras estructuras, como las sucesiones, en las que el orden sí importa.
Línea 73: Línea 73:
 ===== Describir un conjunto mediante una propiedad ===== ===== Describir un conjunto mediante una propiedad =====
  
-No siempre podemos o queremos enumerar todos los enentos de un conjunto. entre otros motivos, hay conjuntos que contienen infinitos elementos, y por tanto no pueden escribirse.+No siempre podemos o queremos enumerar todos los elementos de un conjunto. entre otros motivos, hay conjuntos que contienen infinitos elementos, y por tanto no pueden escribirse.
  
-Podemos describir un conjunto indicando una propiedad que deben cumplir sus enentos.+Podemos describir un conjunto indicando una propiedad que deben cumplir sus elementos.
  
 Por ejemplo, podemos definir el conjunto de números reales positivos mediante Por ejemplo, podemos definir el conjunto de números reales positivos mediante
Línea 97: Línea 97:
 {x en A : P(x)} {x en A : P(x)}
  
-representa el conjunto formado por los enentos x de A que satisfacen la propiedad P.+representa el conjunto formado por los elementos x de A que satisfacen la propiedad P. 
 + 
 +La definición de un conjunto por enumeración de sus miembros se llama extensional, y por las propiedades suficientes se denomina intensional.
  
 ===== Subconjuntos ===== ===== Subconjuntos =====
  
-Decimos que A es un subconjunto de B cuando todos los enentos de A pertenecen también a B.+Decimos que A es un subconjunto de B cuando todos los elementos de A pertenecen también a B.
  
 Lo escribiremos Lo escribiremos
Línea 143: Línea 145:
 B sub A. B sub A.
  
-La primera expresión afirma que x es un enento de A.+La primera expresión afirma que x es un elemento de A.
  
-La segunda afirma que B es un conjunto y que todos sus enentos pertenecen a A.+La segunda afirma que B es un conjunto y que todos sus elementos pertenecen a A.
  
 Por ejemplo, si Por ejemplo, si
Línea 167: Línea 169:
 {1} en A {1} en A
  
-es falso para el conjunto A anterior, porque los enentos de A son 1, 2 y 3, no el conjunto {1}.+es falso para el conjunto A anterior, porque los elementos de A son 1, 2 y 3, no el conjunto {1}.
  
 ===== Conjunto vacío ===== ===== Conjunto vacío =====
  
-Existe un conjunto que no contiene ningún enento. Lo llamamos conjunto vacío y escribiremos+Existe un conjunto que no contiene ningún elemento. Lo llamamos conjunto vacío y escribiremos
  
 {} {}
Línea 183: Línea 185:
 {} sub A. {} sub A.
  
-Para comprobarlo, tendríamos que encontrar algún enento del conjunto vacío que no perteneciera a A.+Para comprobarlo, tendríamos que encontrar algún elemento del conjunto vacío que no perteneciera a A.
  
-Pero el conjunto vacío no tiene enentos.+Pero el conjunto vacío no tiene elementos.
  
-Por tanto, no existe ningún enento que pueda incumplir la condición requerida para ser subconjunto de A.+Por tanto, no existe ningún elemento que pueda incumplir la condición requerida para ser subconjunto de A.
  
-Esta es una aplicación de la verdad vacía: una afirmación universal sobre los enentos de un conjunto vacío es verdadera porque no existe ningún enento que pueda constituir un contraejemplo.+Esta es una aplicación de la verdad vacía: una afirmación universal sobre los elementos de un conjunto vacío es verdadera porque no existe ningún elemento que pueda constituir un contraejemplo.
  
 ===== Igualdad de conjuntos ===== ===== Igualdad de conjuntos =====
  
-Dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen exactamente los mismos enentos.+Dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen exactamente los mismos elementos.
  
 Por tanto, Por tanto,
Línea 199: Línea 201:
 A = B A = B
  
-si y sólo si todo enento de A pertenece a B y todo enento de B pertenece a A.+si y sólo si todo elemento de A pertenece a B y todo elemento de B pertenece a A.
  
 Simbólicamente, Simbólicamente,
Línea 217: Línea 219:
 podemos demostrar por separado: podemos demostrar por separado:
  
-  * Todo enento de A pertenece a B (A sub B). +  * Todo elemento de A pertenece a B (A sub B). 
-  * Todo enento de B pertenece a A (B sub A).+  * Todo elemento de B pertenece a A (B sub A).
  
 Este procedimiento se denomina demostración por doble inclusión. Este procedimiento se denomina demostración por doble inclusión.
Línea 228: Línea 230:
 ==== Unión ==== ==== Unión ====
  
-La unión de dos conjuntos A y B contiene los enentos que pertenecen a A, a B o a ambos.+La unión de dos conjuntos A y B contiene los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos.
  
 Escribiremos Escribiremos
Línea 250: Línea 252:
 A union B = {1, 2, 3, 4, 5}. A union B = {1, 2, 3, 4, 5}.
  
-El enento 3 aparece una sola vez porque la repetición de enentos no altera un conjunto.+El elemento 3 aparece una sola vez porque la repetición de elementos no altera un conjunto.
  
 ==== Intersección ==== ==== Intersección ====
  
-La intersección de A y B contiene los enentos que pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos.+La intersección de A y B contiene los elementos que pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos.
  
 Escribiremos Escribiremos
Línea 268: Línea 270:
 A inter B = {3}. A inter B = {3}.
  
-Si dos conjuntos no tienen ningún enento en común, su intersección es el conjunto vacío:+Si dos conjuntos no tienen ningún elemento en común, su intersección es el conjunto vacío:
  
 A inter B = {}. A inter B = {}.
  
 En ese caso decimos que A y B son disjuntos. En ese caso decimos que A y B son disjuntos.
- 
-La definición de un conjunto por enumeración de sus miembros se llama extensional, y por las propiedades suficientes se denomina intensional. 
  
 ==== Diferencia ==== ==== Diferencia ====
  
-La diferencia entre A y B contiene los enentos que pertenecen a A pero no pertenecen a B.+La diferencia entre A y B contiene los elementos que pertenecen a A pero no pertenecen a B.
  
 Escribiremos Escribiremos
Línea 314: Línea 314:
 Si estamos trabajando dentro de un conjunto U que contiene todos los objetos que estamos considerando, podemos definir el complemento de A respecto de U. Si estamos trabajando dentro de un conjunto U que contiene todos los objetos que estamos considerando, podemos definir el complemento de A respecto de U.
  
-El complemento contiene los enentos de U que no pertenecen a A.+El complemento contiene los elementos de U que no pertenecen a A.
  
 Podemos escribir Podemos escribir
Línea 358: Línea 358:
 A inter (B union C) = (A inter B) union (A inter C), A inter (B union C) = (A inter B) union (A inter C),
  
-podemos tomar un enento arbitrario x y estudiar las condiciones necesarias para que pertenezca a cada lado.+podemos tomar un elemento arbitrario x y estudiar las condiciones necesarias para que pertenezca a cada lado.
  
 Tenemos Tenemos
Línea 376: Línea 376:
 x en (A inter B) union (A inter C). x en (A inter B) union (A inter C).
  
-Por tanto, ambos conjuntos contienen exactamente los mismos enentos y son iguales.+Por tanto, ambos conjuntos contienen exactamente los mismos elementos y son iguales.
  
 Este ejemplo muestra la estrecha relación existente entre las operaciones con conjuntos y las operaciones de la lógica proposicional. Este ejemplo muestra la estrecha relación existente entre las operaciones con conjuntos y las operaciones de la lógica proposicional.
Línea 398: Línea 398:
 entonces entonces
  
-P(A) = {{}, {1}, {2}, {1, 2}}.+%%P(A) = {{}, {1}, {2}, {1, 2}}.%%
  
 Obsérvese aquí especialmente la diferencia entre pertenencia e inclusión: Obsérvese aquí especialmente la diferencia entre pertenencia e inclusión:
Línea 410: Línea 410:
 ===== Pares ordenados ===== ===== Pares ordenados =====
  
-En un conjunto ordinario, el orden de los enentos no importa:+En un conjunto ordinario, el orden de los elementos no importa:
  
 {a, b} = {b, a}. {a, b} = {b, a}.
Línea 521: Línea 521:
   * x noen A: x no pertenece al conjunto A.   * x noen A: x no pertenece al conjunto A.
   * A sub B: A es subconjunto de B.   * A sub B: A es subconjunto de B.
-  * {}: conjunto sin enentos.+  * {}: conjunto sin elementos.
   * A union B: unión de A y B.   * A union B: unión de A y B.
   * A inter B: intersección de A y B.   * A inter B: intersección de A y B.
-  * A \ B: enentos de A que no pertenecen a B.+  * A \ B: elementos de A que no pertenecen a B.
   * P(A): conjunto de todos los subconjuntos de A.   * P(A): conjunto de todos los subconjuntos de A.
   * (a,b): par ordenado formado por a y b.   * (a,b): par ordenado formado por a y b.
   * A x B: producto cartesiano de A y B.   * A x B: producto cartesiano de A y B.
-  * {x en A : P(x)}: enentos de A que satisfacen la propiedad P.+  * {x en A : P(x)}: elementos de A que satisfacen la propiedad P.
   * (a,b): intervalo abierto entre los números reales a y b.   * (a,b): intervalo abierto entre los números reales a y b.
   * [a,b]: intervalo cerrado entre los números reales a y b.   * [a,b]: intervalo cerrado entre los números reales a y b.
Línea 561: Línea 561:
 B = {a, b, c}. B = {a, b, c}.
  
-Escribe todos los enentos de+Escribe todos los elementos de
  
 A x B. A x B.
Línea 635: Línea 635:
 1 en A es verdadera. 1 en A es verdadera.
  
-{1} en A es falsa, porque {1} no es uno de los enentos enumerados en A.+{1} en A es falsa, porque {1} no es uno de los elementos enumerados en A.
  
-{1} sub A es verdadera, porque el único enento de {1}, que es 1, pertenece a A.+{1} sub A es verdadera, porque el único elemento de {1}, que es 1, pertenece a A.
  
 {} sub A es verdadera, porque el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto. {} sub A es verdadera, porque el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto.
  
-{} en A es falsa, porque el conjunto vacío no aparece como enento de A.+{} en A es falsa, porque el conjunto vacío no aparece como elemento de A.
  
 Este ejercicio muestra que pertenencia e inclusión son relaciones diferentes. Este ejercicio muestra que pertenencia e inclusión son relaciones diferentes.
Línea 673: Línea 673:
 Por tanto, Por tanto,
  
-P(A) = {{}, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}}.+%%P(A) = {{}, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}}.%%
  
 ==== Solución del ejercicio 5 ==== ==== Solución del ejercicio 5 ====
Línea 699: Línea 699:
 A inter B sub A. A inter B sub A.
  
-Sea x un enento arbitrario de A inter B.+Sea x un elemento arbitrario de A inter B.
  
 Por definición de intersección, Por definición de intersección,
Línea 713: Línea 713:
 x en A. x en A.
  
-Por tanto, todo enento de A inter B pertenece a A y hemos demostrado+Por tanto, todo elemento de A inter B pertenece a A y hemos demostrado
  
 A inter B sub A. A inter B sub A.
Línea 739: Línea 739:
 x en {}. x en {}.
  
-El segundo caso es imposible porque {} no contiene ningún enento.+El segundo caso es imposible porque {} no contiene ningún elemento.
  
 Por tanto, Por tanto,
Línea 773: Línea 773:
 A inter (B union C) = (A inter B) union (A inter C). A inter (B union C) = (A inter B) union (A inter C).
  
-Sea x un enento cualquiera.+Sea x un elemento cualquiera.
  
 Tenemos Tenemos
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