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 representa el conjunto formado por los elementos x de A que satisfacen la propiedad P.
+La definición de un conjunto por enumeración de sus miembros se llama extensional, y por las propiedades suficientes se denomina intensional.
 ===== Subconjuntos =====
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 En ese caso decimos que A y B son disjuntos.
-La definición de un conjunto por enumeración de sus miembros se llama extensional, y por las propiedades suficientes se denomina intensional.
 ==== Diferencia ====
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 Este ejemplo muestra la estrecha relación existente entre las operaciones con conjuntos y las operaciones de la lógica proposicional.
+===== Identidades entre conjuntos =====
+Las operaciones entre conjuntos satisfacen numerosas identidades que resultan útiles para simplificar expresiones y realizar demostraciones.
+Aunque conviene familiarizarse con las más importantes, no es necesario memorizarlas todas. Muchas pueden reconstruirse estudiando qué significa que un elemento pertenezca a cada uno de los conjuntos implicados.
+==== Correspondencia entre conjuntos y lógica ====
+Existe una estrecha relación entre las operaciones con conjuntos y las operaciones de la lógica.
+Para un elemento x,
+x en A inter B
+si y sólo si
+x en A y x en B.
+Por tanto,
+x en A inter B <-> x en A y x en B.
+De forma análoga,
+x en A union B <-> x en A o x en B.
+Si todos los conjuntos considerados son subconjuntos de un conjunto de referencia U, podemos representar el complemento de A mediante
+U \ A.
+Para x en U,
+x en U \ A <-> no(x en A).
+La inclusión también puede expresarse lógicamente:
+A sub B <-> pt x: x en A -> x en B.
+Por último, dos conjuntos son iguales cuando tienen exactamente los mismos elementos:
+A = B <-> pt x: x en A <-> x en B.
+Por tanto, podemos establecer la siguiente correspondencia:
+  * inter corresponde a y.
+  * union corresponde a o.
+  * complemento corresponde a no.
+  * sub corresponde a una implicación para todos los elementos.
+  * igualdad corresponde a una equivalencia para todos los elementos.
+La correspondencia no significa que una operación conjuntista y una operación lógica sean literalmente el mismo objeto. Significa que la pertenencia a los conjuntos resultantes se caracteriza mediante las operaciones lógicas correspondientes.
+Esta relación permite trasladar muchas identidades lógicas a identidades entre conjuntos.
+==== Idempotencia ====
+La unión o intersección de un conjunto consigo mismo no lo modifica:
+A union A = A
+A inter A = A.
+Podemos comprobar la primera identidad tomando un elemento cualquiera x:
+x en A union A <->
+x en A o x en A <->
+x en A.
+De manera análoga,
+x en A inter A <->
+x en A y x en A <->
+x en A.
+Por tanto,
+A union A = A
+y
+A inter A = A.
+==== Identidad y absorción por el conjunto vacío ====
+El conjunto vacío actúa de manera diferente respecto de la unión y la intersección:
+A union {} = A
+A inter {} = {}.
+Para la unión,
+x en A union {} <->
+x en A o x en {} <->
+x en A,
+porque ningún elemento pertenece a {}.
+Para la intersección,
+x en A inter {} <->
+x en A y x en {}.
+La segunda condición nunca se cumple, por lo que ningún x pertenece a la intersección. Así,
+A inter {} = {}.
+Si trabajamos dentro de un conjunto de referencia U, también tenemos
+A union U = U
+A inter U = A.
+==== Conmutatividad ====
+La unión y la intersección son conmutativas:
+A union B = B union A
+A inter B = B inter A.
+Por ejemplo,
+x en A union B <->
+x en A o x en B <->
+x en B o x en A <->
+x en B union A.
+La demostración para la intersección es análoga y utiliza la conmutatividad de la conjunción lógica.
+==== Asociatividad ====
+La unión y la intersección son asociativas:
+(A union B) union C = A union (B union C)
+(A inter B) inter C = A inter (B inter C).
+Por ejemplo,
+x en (A union B) union C <->
+(x en A o x en B) o x en C <->
+x en A o (x en B o x en C) <->
+x en A union (B union C).
+Gracias a la asociatividad podemos escribir expresiones como
+A union B union C
+sin necesidad de indicar mediante paréntesis qué unión se realiza primero.
+Lo mismo ocurre con la intersección.
+==== Distributividad ====
+La intersección distribuye sobre la unión:
+A inter (B union C) = (A inter B) union (A inter C).
+Para demostrarlo, tomamos un elemento cualquiera x:
+x en A inter (B union C) <->
+x en A y (x en B o x en C) <->
+(x en A y x en B) o (x en A y x en C) <->
+x en (A inter B) union (A inter C).
+También la unión distribuye sobre la intersección:
+A union (B inter C) = (A union B) inter (A union C).
+La demostración sigue el mismo procedimiento:
+x en A union (B inter C) <->
+x en A o (x en B y x en C) <->
+(x en A o x en B) y (x en A o x en C) <->
+x en (A union B) inter (A union C).
+En la aritmética, el producto distribuye sobre la suma:
+a*(b+c) = a*b+a*c.
+Sin embargo, la suma no distribuye sobre el producto. En general,
+a+(b*c) != (a+b)*(a+c).
+En cambio, para las operaciones con conjuntos, la intersección distribuye
+sobre la unión y la unión distribuye sobre la intersección.
+Esta propiedad recibe a veces el nombre de doble distributividad.
+==== Absorción ====
+La unión y la intersección satisfacen las siguientes identidades de absorción:
+A union (A inter B) = A
+A inter (A union B) = A.
+Para la primera,
+x en A union (A inter B) <->
+x en A o (x en A y x en B) <->
+x en A.
+La proposición
+P o (P y Q)
+equivale simplemente a P.
+Análogamente,
+P y (P o Q)
+equivale a P,
+lo que proporciona la segunda identidad.
+==== Complemento ====
+Supongamos que trabajamos dentro de un conjunto de referencia U.
+El complemento de A respecto de U es
+U \ A.
+Tenemos:
+A union (U \ A) = U
+A inter (U \ A) = {}
+U \ (U \ A) = A.
+Las dos primeras identidades corresponden a las propiedades lógicas
+P o no(P)
+y
+P y no(P).
+En lógica clásica, la primera es siempre verdadera y la segunda siempre falsa.
+**Nota constructiva:** la identidad
+A union (U \ A) = U
+depende, para conjuntos definidos mediante propiedades arbitrarias, de poder decidir para cada x en U si x en A o x noen A. En un marco constructivo esta propiedad no puede darse por supuesta para cualquier conjunto o predicado. En cambio,
+A inter (U \ A) = {}
+no requiere la ley del tercero excluido.
+==== Leyes de De Morgan ====
+El complemento transforma uniones en intersecciones e intersecciones en uniones.
+Tenemos
+U \ (A union B) = (U \ A) inter (U \ B)
+y
+U \ (A inter B) = (U \ A) union (U \ B).
+La primera identidad puede demostrarse traduciendo la pertenencia a lógica:
+x en U \ (A union B) <->
+no(x en A union B) <->
+no(x en A o x en B) <->
+no(x en A) y no(x en B) <->
+x en (U \ A) inter (U \ B).
+La segunda corresponde a la otra ley de De Morgan:
+no(P y Q) <-> no(P) o no(Q).
+**Nota constructiva:** conviene distinguir las dos direcciones de esta última equivalencia. La implicación
+no(P) o no(Q) -> no(P y Q)
+es constructivamente válida, pero la implicación inversa no lo es en general. Por tanto, la segunda identidad de De Morgan requiere principios clásicos cuando se interpreta sobre predicados arbitrarios.
+==== Diferencia de conjuntos ====
+La diferencia puede expresarse mediante intersección y complemento:
+A \ B = A inter (U \ B),
+si A y B son subconjuntos del conjunto de referencia U.
+También se cumplen:
+A \ {} = A
+{} \ A = {}
+A \ A = {}.
+Otra identidad útil es
+(A \ B) \ C = A \ (B union C).
+Podemos reconstruirla mediante lógica:
+x en (A \ B) \ C <->
+x en A y no(x en B) y no(x en C) <->
+x en A y no(x en B o x en C) <->
+x en A \ (B union C).
+==== Inclusión y operaciones ====
+La inclusión permite obtener varias propiedades útiles.
+Si
+A sub B,
+entonces
+A inter B = A
+y
+A union B = B.
+También se cumple el recíproco:
+A sub B <-> A inter B = A
+y
+A sub B <-> A union B = B.
+Estas equivalencias proporcionan distintas maneras de demostrar una inclusión.
+Por ejemplo, en lugar de demostrar directamente
+A sub B,
+en algunos casos puede resultar más cómodo demostrar
+A inter B = A.
+==== Igualdad mediante pertenencia ====
+La técnica general utilizada en las demostraciones anteriores merece hacerse explícita.
+Para demostrar
+A = B,
+podemos tomar un elemento arbitrario x y demostrar
+x en A <-> x en B.
+Si conseguimos transformar la condición de pertenencia a A en la condición de pertenencia a B mediante equivalencias lógicas, hemos demostrado que ambos conjuntos tienen exactamente los mismos elementos.
+Por ejemplo:
+x en A inter (B union C) <->
+x en A y (x en B o x en C) <->
+(x en A y x en B) o (x en A y x en C) <->
+x en (A inter B) union (A inter C).
+Por tanto,
+A inter (B union C) = (A inter B) union (A inter C).
+Este procedimiento permite reconstruir muchas identidades entre conjuntos sin necesidad de memorizarlas.
+==== Referencia rápida ====
+Para conjuntos A, B y C:
+  * A union A = A.
+  * A inter A = A.
+  * A union {} = A.
+  * A inter {} = {}.
+  * A union B = B union A.
+  * A inter B = B inter A.
+  * (A union B) union C = A union (B union C).
+  * (A inter B) inter C = A inter (B inter C).
+  * A inter (B union C) = (A inter B) union (A inter C).
+  * A union (B inter C) = (A union B) inter (A union C).
+  * A union (A inter B) = A.
+  * A inter (A union B) = A.
+  * A \ {} = A.
+  * {} \ A = {}.
+  * A \ A = {}.
+  * (A \ B) \ C = A \ (B union C).
+Si A, B sub U:
+  * A union U = U.
+  * A inter U = A.
+  * A union (U \ A) = U.
+  * A inter (U \ A) = {}.
+  * U \ (U \ A) = A.
+  * U \ (A union B) = (U \ A) inter (U \ B).
+  * U \ (A inter B) = (U \ A) union (U \ B).
+Para la inclusión:
+  * A sub B <-> A inter B = A.
+  * A sub B <-> A union B = B.
 ===== Conjunto potencia =====
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 Este punto de vista permite tratar de la misma manera ecuaciones, desigualdades y otras condiciones matemáticas: buscamos el conjunto de objetos que satisfacen una determinada propiedad.
-===== Referencia rápida =====
-  * x en A: x pertenece al conjunto A.
-  * x noen A: x no pertenece al conjunto A.
-  * A sub B: A es subconjunto de B.
-  * {}: conjunto sin elementos.
-  * A union B: unión de A y B.
-  * A inter B: intersección de A y B.
-  * A \ B: elementos de A que no pertenecen a B.
-  * P(A): conjunto de todos los subconjuntos de A.
-  * (a,b): par ordenado formado por a y b.
-  * A x B: producto cartesiano de A y B.
-  * {x en A : P(x)}: elementos de A que satisfacen la propiedad P.
-  * (a,b): intervalo abierto entre los números reales a y b.
-  * [a,b]: intervalo cerrado entre los números reales a y b.
 ===== Ejercicios =====