Mates sin ojos

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====== Conjuntos ======

===== Motivación =====

En matemáticas necesitamos frecuentemente hablar de colecciones de objetos.

Por ejemplo, podemos considerar:

  * los números naturales;
  * los números reales;
  * los números reales comprendidos entre 0 y 1;
  * las soluciones de una ecuación;
  * los puntos en los que está definida una función.

Un conjunto es una colección de objetos considerados conjuntamente.

Los objetos que forman parte de un conjunto reciben el nombre de elementos.

La teoría de conjuntos proporciona un lenguaje común para describir muchas estructuras matemáticas. Utilizaremos conjuntos posteriormente para definir relaciones, funciones, intervalos, espacios y otros conceptos.

===== Pertenencia =====

Para indicar que un objeto x pertenece a un conjunto A escribiremos

x en A.

Esto significa que x es uno de los elementos de A.

Por ejemplo, si

A = {1, 2, 3},

entonces

1 en A

y

3 en A.

En cambio,

4 noen A.

La relación de pertenencia se establece entre un objeto y un conjunto.

En

x en A,

x es un elemento y A es un conjunto.

===== Describir un conjunto enumerando sus elementos =====

Cuando un conjunto tiene pocos elementos, podemos describirlo enumerándolos entre llaves.

Por ejemplo,

A = {1, 2, 3}.

El orden en que enumeramos los elementos no importa:

{1, 2, 3} = {3, 1, 2}.

Tampoco importa repetir un elemento:

{1, 2, 2, 3} = {1, 2, 3}.

Un conjunto queda determinado por cuáles son sus elementos, no por el orden en que los escribamos ni por el número de veces que los repitamos.

Esto diferencia los conjuntos de otras estructuras, como las sucesiones, en las que el orden sí importa.

===== Describir un conjunto mediante una propiedad =====

No siempre podemos o queremos enumerar todos los elementos de un conjunto. entre otros motivos, hay conjuntos que contienen infinitos elementos, y por tanto no pueden escribirse.

Podemos describir un conjunto indicando una propiedad que deben cumplir sus elementos.

Por ejemplo, podemos definir el conjunto de números reales positivos mediante

{x en R : x > 0}.

Esta expresión se lee:

"el conjunto de los x pertenecientes a R tales que x es mayor que 0".

Otro ejemplo:

{x en R : x^2 = 4}

describe el conjunto

{-2, 2}.

En general,

{x en A : P(x)}

representa el conjunto formado por los elementos x de A que satisfacen la propiedad P.

La definición de un conjunto por enumeración de sus miembros se llama extensional, y por las propiedades suficientes se denomina intensional.

===== Subconjuntos =====

Decimos que A es un subconjunto de B cuando todos los elementos de A pertenecen también a B.

Lo escribiremos

A sub B.

Formalmente,

A sub B <-> pt x: x en A -> x en B.

Por ejemplo,

{1, 2} sub {1, 2, 3}.

Todo conjunto es subconjunto de sí mismo:

A sub A.

También se cumple la transitividad de la inclusión.

Si

A sub B

y

B sub C,

entonces

A sub C.

==== Pertenencia e inclusión no son lo mismo ====

Es importante distinguir

x en A

de

B sub A.

La primera expresión afirma que x es un elemento de A.

La segunda afirma que B es un conjunto y que todos sus elementos pertenecen a A.

Por ejemplo, si

A = {1, 2, 3},

entonces

1 en A

y

{1} sub A.

Pero estas dos afirmaciones expresan relaciones diferentes.

Además, en general no podemos intercambiarlas.

Por ejemplo,

{1} en A

es falso para el conjunto A anterior, porque los elementos de A son 1, 2 y 3, no el conjunto {1}.

===== Conjunto vacío =====

Existe un conjunto que no contiene ningún elemento. Lo llamamos conjunto vacío y escribiremos

{}

Por definición,

no(exi x: x en {}).

El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto:

{} sub A.

Para comprobarlo, tendríamos que encontrar algún elemento del conjunto vacío que no perteneciera a A.

Pero el conjunto vacío no tiene elementos.

Por tanto, no existe ningún elemento que pueda incumplir la condición requerida para ser subconjunto de A.

Esta es una aplicación de la verdad vacía: una afirmación universal sobre los elementos de un conjunto vacío es verdadera porque no existe ningún elemento que pueda constituir un contraejemplo.

===== Igualdad de conjuntos =====

Dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen exactamente los mismos elementos.

Por tanto,

A = B

si y sólo si todo elemento de A pertenece a B y todo elemento de B pertenece a A.

Simbólicamente,

A = B <-> (pt x: x en A -> x en B) y (pt x: x en B -> x en A).

Esto es equivalente a predicar que

A sub B y B sub A.

Esta propiedad proporciona una técnica muy común para demostrar la igualdad entre dos conjuntos.

Para demostrar

A = B,

podemos demostrar por separado:

  * Todo elemento de A pertenece a B (A sub B).
  * Todo elemento de B pertenece a A (B sub A).

Este procedimiento se denomina demostración por doble inclusión.

===== Operaciones con conjuntos =====

Podemos construir nuevos conjuntos a partir de otros mediante diferentes operaciones.

==== Unión ====

La unión de dos conjuntos A y B contiene los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos.

Escribiremos

A union B.

Formalmente,

x en (A union B) <-> x en A o x en B.

Por ejemplo, si

A = {1, 2, 3}

y

B = {3, 4, 5},

entonces

A union B = {1, 2, 3, 4, 5}.

El elemento 3 aparece una sola vez porque la repetición de elementos no altera un conjunto.

==== Intersección ====

La intersección de A y B contiene los elementos que pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos.

Escribiremos

A inter B.

Formalmente,

x en (A inter B) <-> x en A y x en B.

En el ejemplo anterior,

A inter B = {3}.

Si dos conjuntos no tienen ningún elemento en común, su intersección es el conjunto vacío:

A inter B = {}.

En ese caso decimos que A y B son disjuntos.

==== Diferencia ====

La diferencia entre A y B contiene los elementos que pertenecen a A pero no pertenecen a B.

Escribiremos

A \ B.

Formalmente,

x en (A \ B) <-> x en A y x noen B.

Por ejemplo, si

A = {1, 2, 3}

y

B = {3, 4, 5},

entonces

A \ B = {1, 2}.

La diferencia no es conmutativa.

En general,

A \ B != B \ A.

En nuestro ejemplo,

B \ A = {4, 5}.

===== Complemento =====

Si estamos trabajando dentro de un conjunto U que contiene todos los objetos que estamos considerando, podemos definir el complemento de A respecto de U.

El complemento contiene los elementos de U que no pertenecen a A.

Podemos escribir

U \ A.

Por tanto,

x en (U \ A) <-> x en U y x noen A.

El complemento siempre depende del conjunto respecto del cual se toma.

Por ejemplo, el complemento de

A = {1, 2}

no significa nada por sí solo si no sabemos qué conjunto estamos utilizando como referencia.

===== Algunas propiedades de las operaciones =====

La unión y la intersección son conmutativas:

A union B = B union A

A inter B = B inter A.

También son asociativas:

(A union B) union C = A union (B union C)

(A inter B) inter C = A inter (B inter C).

Y cada una distribuye sobre la otra:

A inter (B union C) = (A inter B) union (A inter C)

A union (B inter C) = (A union B) inter (A union C).

Estas propiedades pueden demostrarse utilizando la definición de igualdad de conjuntos.

Por ejemplo, para demostrar

A inter (B union C) = (A inter B) union (A inter C),

podemos tomar un elemento arbitrario x y estudiar las condiciones necesarias para que pertenezca a cada lado.

Tenemos

x en A inter (B union C)

si y sólo si

x en A y (x en B o x en C).

Por la distributividad de la conjunción lógica,

(x en A y x en B) o (x en A y x en C).

Esto equivale a

x en (A inter B) union (A inter C).

Por tanto, ambos conjuntos contienen exactamente los mismos elementos y son iguales.

Este ejemplo muestra la estrecha relación existente entre las operaciones con conjuntos y las operaciones de la lógica proposicional.

===== Conjunto potencia =====

Dado un conjunto A, podemos considerar el conjunto formado por todos los subconjuntos de A.

Lo llamamos conjunto potencia de A y escribiremos

P(A).

Por definición,

B en P(A) <-> B sub A.

Por ejemplo, si

A = {1, 2},

entonces

%%P(A) = {{}, {1}, {2}, {1, 2}}.%%

Obsérvese aquí especialmente la diferencia entre pertenencia e inclusión:

{1} sub A

y, por ello,

{1} en P(A).

===== Pares ordenados =====

En un conjunto ordinario, el orden de los elementos no importa:

{a, b} = {b, a}.

Sin embargo, en muchas situaciones necesitamos representar dos objetos distinguiendo cuál ocupa la primera posición y cuál la segunda.

Utilizaremos para ello un par ordenado:

(a, b).

En general,

(a, b) != (b, a).

Dos pares ordenados son iguales exactamente cuando coinciden sus componentes correspondientes:

(a, b) = (c, d) <-> a = c y b = d.

Los pares ordenados pueden construirse formalmente mediante conjuntos, pero para los propósitos de este artículo utilizaremos directamente las propiedades anteriores.

===== Producto cartesiano =====

Dados dos conjuntos A y B, el producto cartesiano

A x B

es el conjunto de todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece a A y cuya segunda componente pertenece a B.

Formalmente,

A x B = {(a,b) : a en A y b en B}.

Por ejemplo, si

A = {1, 2}

y

B = {a, b},

entonces

A x B = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b)}.

En general,

A x B != B x A,

porque los pares ordenados distinguen entre su primera y su segunda componente.

El producto cartesiano será especialmente importante para definir relaciones y funciones.

===== Intervalos como conjuntos =====

Los intervalos de números reales son conjuntos definidos mediante desigualdades.

Por ejemplo,

{x en R : 0 < x < 1}

es el conjunto de todos los números reales estrictamente comprendidos entre 0 y 1.

Podemos utilizar una notación abreviada para los intervalos.

El intervalo abierto entre a y b contiene los números estrictamente comprendidos entre ambos:

(a,b) = {x en R : a < x < b}.

El intervalo cerrado incluye también sus extremos:

[a,b] = {x en R : a <= x <= b}.

También podemos incluir solamente uno de los extremos:

[a,b) = {x en R : a <= x < b}

(a,b] = {x en R : a < x <= b}.

Esta notación será especialmente útil al estudiar funciones, límites y continuidad.

===== Uso de conjuntos de soluciones =====

Resolver una ecuación o desigualdad puede entenderse como encontrar un conjunto.

Por ejemplo, la desigualdad

x^2 < 4

tiene como conjunto de soluciones

{x en R : x^2 < 4}.

Como

x^2 < 4

equivale a

-2 < x < 2,

podemos escribir el conjunto de soluciones como

(-2,2).

Este punto de vista permite tratar de la misma manera ecuaciones, desigualdades y otras condiciones matemáticas: buscamos el conjunto de objetos que satisfacen una determinada propiedad.

===== Referencia rápida =====

  * x en A: x pertenece al conjunto A.
  * x noen A: x no pertenece al conjunto A.
  * A sub B: A es subconjunto de B.
  * {}: conjunto sin elementos.
  * A union B: unión de A y B.
  * A inter B: intersección de A y B.
  * A \ B: elementos de A que no pertenecen a B.
  * P(A): conjunto de todos los subconjuntos de A.
  * (a,b): par ordenado formado por a y b.
  * A x B: producto cartesiano de A y B.
  * {x en A : P(x)}: elementos de A que satisfacen la propiedad P.
  * (a,b): intervalo abierto entre los números reales a y b.
  * [a,b]: intervalo cerrado entre los números reales a y b.

===== Ejercicios =====

==== Ejercicio 1 ====

Sean

A = {1, 2, 3}

y

B = {2, 3, 4}.

Calcula:

* A union B.
* A inter B.
* A \ B.
* B \ A.

==== Ejercicio 2 ====

Sean

A = {1, 2}

y

B = {a, b, c}.

Escribe todos los elementos de

A x B.

==== Ejercicio 3 ====

Sea

A = {1, 2, 3}.

Determina cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas:

* 1 en A.
* {1} en A.
* {1} sub A.
* {} sub A.
* {} en A.

Explica la diferencia entre las respuestas.

==== Ejercicio 4 ====

Escribe el conjunto potencia de

A = {a, b, c}.

==== Ejercicio 5 ====

Describe mediante desigualdades el intervalo

[-2,5).

Describe mediante notación de intervalo el conjunto

{x en R : 3 < x <= 7}.

==== Ejercicio 6 ====

Demuestra que

A inter B sub A.

==== Ejercicio 7 ====

Demuestra mediante doble inclusión que

A union {} = A.

==== Ejercicio 8 ====

Demuestra que

A inter (B union C) = (A inter B) union (A inter C).

===== Soluciones =====

==== Solución del ejercicio 1 ====

A union B = {1, 2, 3, 4}.

A inter B = {2, 3}.

A \ B = {1}.

B \ A = {4}.

==== Solución del ejercicio 2 ====

A x B = {(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c)}.

==== Solución del ejercicio 3 ====

1 en A es verdadera.

{1} en A es falsa, porque {1} no es uno de los elementos enumerados en A.

{1} sub A es verdadera, porque el único elemento de {1}, que es 1, pertenece a A.

{} sub A es verdadera, porque el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto.

{} en A es falsa, porque el conjunto vacío no aparece como elemento de A.

Este ejercicio muestra que pertenencia e inclusión son relaciones diferentes.

==== Solución del ejercicio 4 ====

Los subconjuntos de

A = {a, b, c}

son

{},

{a},

{b},

{c},

{a,b},

{a,c},

{b,c}

y

{a,b,c}.

Por tanto,

%%P(A) = {{}, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}}.%%

==== Solución del ejercicio 5 ====

El intervalo

[-2,5)

es

{x en R : -2 <= x < 5}.

El conjunto

{x en R : 3 < x <= 7}

es el intervalo

(3,7].

==== Solución del ejercicio 6 ====

Queremos demostrar

A inter B sub A.

Sea x un elemento arbitrario de A inter B.

Por definición de intersección,

x en A

y

x en B.

En particular,

x en A.

Por tanto, todo elemento de A inter B pertenece a A y hemos demostrado

A inter B sub A.

==== Solución del ejercicio 7 ====

Queremos demostrar

A union {} = A.

Demostraremos ambas inclusiones.

Primero,

A union {} sub A.

Sea x en A union {}.

Por definición de unión,

x en A

o

x en {}.

El segundo caso es imposible porque {} no contiene ningún elemento.

Por tanto,

x en A.

Hemos demostrado

A union {} sub A.

Ahora demostramos

A sub A union {}.

Sea x en A.

Por definición de unión, basta que x pertenezca a uno de los dos conjuntos para que

x en A union {}.

Por tanto,

A sub A union {}.

Como hemos demostrado ambas inclusiones,

A union {} = A.

==== Solución del ejercicio 8 ====

Queremos demostrar

A inter (B union C) = (A inter B) union (A inter C).

Sea x un elemento cualquiera.

Tenemos

x en A inter (B union C)

si y sólo si

x en A y x en (B union C).

Por definición de unión,

x en A y (x en B o x en C).

Por distributividad lógica,

(x en A y x en B) o (x en A y x en C).

Por definición de intersección,

x en (A inter B) o x en (A inter C).

Por definición de unión,

x en (A inter B) union (A inter C).

Hemos demostrado que

x en A inter (B union C) <-> x en (A inter B) union (A inter C).

Por tanto, ambos conjuntos tienen exactamente los mismos elementos y

A inter (B union C) = (A inter B) union (A inter C).

===== Notación =====

  * A, B, C: letras mayúsculas utilizadas habitualmente para representar conjuntos.
  * x en A: x pertenece al conjunto A.
  * x noen A: x no pertenece al conjunto A.
  * {a,b,c}: conjunto definido por extensión, cuyos elementos son a, b y c.
  * {x en A : P(x)}: conjunto definido por comprensión, formado por los elementos x de A que cumplen la propiedad P.
  * {}: conjunto vacío, que no contiene ningún elemento.
  * A sub B: A es subconjunto de B; todo elemento de A pertenece también a B.
  * A != B: A y B son conjuntos distintos.
  * A union B: unión de A y B; contiene los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos.
  * A inter B: intersección de A y B; contiene los elementos que pertenecen a A y también a B.
  * A \ B: diferencia de A y B; contiene los elementos de A que no pertenecen a B.
  * P(A): conjunto potencia de A; conjunto formado por todos los subconjuntos de A.
  * card(A): cardinalidad de A; si A es finito, número de elementos que contiene.
  * (a,b): par ordenado cuya primera componente es a y cuya segunda componente es b.
  * A x B: producto cartesiano de A y B; conjunto de los pares (a,b) tales que a en A y b en B.
  * (a,b): intervalo abierto de números reales entre a y b. El contexto permite distinguirlo de un par ordenado.
  * [a,b]: intervalo cerrado de números reales entre a y b.
  * [a,b): intervalo de números reales que incluye a pero excluye b.
  * (a,b]: intervalo de números reales que excluye a pero incluye b.