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+++ conceptos:desigualdades [2026/08/22 04:58] (actual) – [Transitividad] modulus
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 ===== El orden de los números reales =====
-Los números reales están ordenados. (De hecho, se dice que los números reales son el campo ordenado completo.)
+Los números reales están ordenados.
 Dados dos números reales a y b, podemos comparar sus valores.
@@ Línea 63: / Línea 63: @@
 r1 < r2, o r1 > r2, o r1 = r2.
+**Nota**: la tricotomía se puede predicar de los números reales clásicos, pero no es constructivamente válida en general para una representación arbitraria de los reales.
 También es importante conocer la forma de negar una desigualdad (muy útil para negar un predicado lógico que la contenga).
 no(a<b)=a>=b
 no(a<=b)=a>b
 no(a>b)=a<=b
 no(a>=b)=a<b
@@ Línea 77: / Línea 82: @@
   * a >= b
-has probado que no(a>b) y no(a<b) , por tanto y por eliminación, a=b.
+has probado que no(a>b) y no(a<b). Dada la tricotonía, exactamente una de las tres posibilidades debe ser cierta, por tanto, a=b.
+**Nota:** en matemática clásica podemos decidir entre
+x < 0, x = 0 y x > 0 mediante la tricotomía. Esta propiedad no es
+constructivamente válida para los números reales en general. Cuando una
+demostración utilice esta separación de casos, lo indicaremos.
 ===== Propiedades fundamentales =====
@@ Línea 107: / Línea 117: @@
 < 8.
-La transitividad es una consecuencia de la propiedad de orden total de los reales.
+La transitividad es una consecuencia de la propiedad de orden de los reales.
 Esta propiedad permite formar cadenas de desigualdades.
@@ Línea 171: / Línea 181: @@
 entonces
-a*c < b*c.
+ac < bc.
 Por ejemplo,
@@ Línea 195: / Línea 205: @@
 entonces
-a*c > b*c.
+ac > bc.
 Por ejemplo,
@@ Línea 207: / Línea 217: @@
 Esta regla es una consecuencia del orden de los números reales, no una convención arbitraria.
-Para verlo, partimos de
+Veamos primero qué ocurre al multiplicar por -1.
-a < b.
+Tenemos la desigualdad
-Restamos b a ambos lados:
+a < b
-a - b < 0.
+y queremos averiguar qué ocurre cuando multiplicamos ambos lados por -1.
-Multiplicamos por -1:
+Por tanto, queremos encontrar una relación entre
-b - a > 0.
+-a
-Sumamos a a ambos lados:
+y
-b > a.
+-b.
-Por tanto,
+Sabemos que podemos restar la misma cantidad de ambos lados sin alterar el
+sentido de una desigualdad. Busquemos entonces qué cantidad tendríamos que
+restar a a para obtener -b.
+Llamemos x a esa cantidad. Queremos que
+a-x = -b.
+Despejando x,
+x = a+b.
+Comprobamos qué ocurre al restar esa misma cantidad de b:
+b-(a+b) = -a.
+Por tanto, al restar a+b de ambos lados de
+a < b
+obtenemos
+a-(a+b) < b-(a+b),
+y simplificando,
+-b < -a.
+Esto equivale a
+-a > -b.
+Como -a=(-1)*a y -b=(-1)*b, hemos demostrado que multiplicar ambos lados
+de una desigualdad por -1 invierte su sentido.
+Podemos obtener ahora el resultado para cualquier número negativo c.
+Si
+c < 0,
+entonces
+-c > 0.
+Como -c es positivo, podemos multiplicar
+a < b
+por -c sin cambiar el sentido de la desigualdad:
--a > -b
+a(-c) < b(-c).
-cuando partíamos de
+Multiplicando ahora ambos lados por -1, el sentido se invierte:
-a < b.
+ac > bc.
-La misma idea permite demostrar el resultado para cualquier factor negativo.
+Por tanto, multiplicar ambos lados de una desigualdad por cualquier número negativo invierte su sentido.
 ==== División ====
@@ Línea 259: / Línea 318: @@
 No podemos dividir por 0, la operación está indefinida.
+==== Desigualdad entre recíprocas ====
+Cuando tenemos una desigualdad en que ambos valores tienen el mismo signo, podemos determinar la relación entre sus recíprocas.
+Por ejemplo, si empezamos por,
+< 2 < 3
+podemos determinar que,
+< 1/3 < 1/2
+Si tenemos,
+-3 < -2 < 0
+entonces,
+-1/2 < -1/3 < 0
+Es decir, tomar la reciproca invierte el sentido de la desigualdad.
+Esta propiedad tampoco es una convención arbitraria, sino que se puede demostrar.
+Supongamos que
+< a < b
+Queremos determinar la relación entre 1/a y 1/b.
+Vamos a buscar un número x que, dividiendo a, resulte en 1/b:
+a/x = 1/b
+Despejando x,
+x=ab.
+Veamos que ocurre si dividimos b entre x:
+b/x=b/ab=1/a.
+Por tanto, podemos dividir la desigualdad
+a < b
+por el mismo número y obtener una relación entre 1/a y 1/b.
+Además, como 0 < a y 0 < b, ab es un número positivo, por lo que dividir por él no invierte el sentido de la desigualdad.
+Por consiguiente,
+a < b
+a/x < b/x
+a/ab < b/ab
+/b < 1/a
+/a > 1/b.
+La misma demostración se puede aplicar cuando a y b son negativos, ya que ab también es un número positivo.
+En caso que tengamos,
+a < 0 < b
+podemos deducir,
+/a < 0 < 1/b,
+ya que las recíprocas mantienen su signo.
+Si desconocemos los signos de las variables, la desigualdad a < b no nos permite deducir el orden de sus recíprocas.
+Por ejemplo,
+-3 < a < b < 3
+podría resultar en,
+/a < 1/b o 1/b < 1/a.
+De hecho, sin la restricción de que a!=0 y b!=0, 1/a o 1/b podrían no estar definidas.
+En este caso lo único que podemos negar es la igualdad entre las recíprocas.
+En conclusión, la toma de recíproco invierte el orden de los números reales positivos y de los negativos, pero no de estos entre sí.
+Formalmente,
+f(x)=1/x es estrictamente decreciente para x>0, y para x < 0, pero no para todo el dominio.
+-3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3
+resulta, tomando recíproco (con la salvedad de que el cero no lo tiene) en
+-1 < -1/2 < -1/3 < 0 < 1/3 < 1/2 < 1
 ===== Referencia rápida =====
@@ Línea 272: / Línea 431: @@
 Antes de multiplicar o dividir una desigualdad por una cantidad cuyo valor no conocemos, debemos determinar si esa cantidad es positiva, negativa o cero.
+Si 0 < a < b,
+< 1/b < 1/a
+Si 0 > a > b,
+> 1/b > 1/a
+Si a < 0 < b,
+/a < 0 < 1/b
 ===== Resolver desigualdades =====
 Resolver una desigualdad significa determinar qué valores de una variable hacen verdadera la desigualdad.
+Existen varios métodos, dependiendo del tipo de desigualdad de que se trate.
+==== Resolución de desigualdades lineales ====
+Una desigualdad lineal es aquella de la forma
+ax+by < k
+Donde a, b, son números reales, x, y, son variables, y k es un número real.
+La restricción que deja de hacerla lineal es que alguna de las variables esté elevada a una potencia distinta de 1.
+x<3y es lineal, se puede reescribir como 2x-3y<0, con 2=a, x=x, -3=b, y=y, y 0=k.
+x^2<0 no es lineal, porque x está elevada a 2.
+Veamos el método para la resolución.
 Por ejemplo, consideremos
@@ Línea 337: / Línea 526: @@
 -2 < x < 4
 implica
--2 < x < 0 o 0 < x < 4.
+-2 < x < 0 o 0 < x < 4 o x=0.
 En el primer caso, x es una cantidad negativa:
@@ Línea 356: / Línea 545: @@
 x=0 < x*x=x^2 < -2x
 < x^2 < -2x < 4
@@ Línea 381: / Línea 571: @@
 x^2 = 0 o 0 < x^2 < 4 o 0 < x^2 < 16
 implica
 <= x^2 < 16
 Fíjate que, como x^2 puede ser 0, la desigualdad entre x^2 y cero no es estricta (<). Es un error común no prestar atención a los extremos de una desigualdad.
+==== Más allá de las desigualdades lineales ====
+En los ejemplos anteriores hemos resuelto desigualdades transformándolas paso a paso hasta aislar la variable.
+Por ejemplo,
+x + 3 < 9
+equivale a
+x < 6
+y finalmente a
+x < 3.
+Este procedimiento funciona especialmente bien con desigualdades lineales. Sin embargo, no siempre es posible aislar la variable mediante transformaciones sencillas.
+Consideremos, por ejemplo,
+x^2 - x - 6 < 0.
+En este caso podemos utilizar una estrategia más general: determinar para qué valores de x la expresión situada a la izquierda es negativa.
+En general, una desigualdad de la forma
+f(x) < g(x)
+puede transformarse, restando g(x) de ambos lados, en
+f(x)-g(x) < 0.
+Resolver la desigualdad consiste entonces en determinar dónde la función
+h(x)=f(x)-g(x)
+es negativa.
+De forma análoga:
+h(x) > 0 pide los valores para los que h es positiva.
+h(x) <= 0 pide los valores para los que h es negativa o cero.
+h(x) >= 0 pide los valores para los que h es positiva o cero.
+Este enfoque recibe el nombre de análisis de signos.
+==== Resolución mediante monotonía ====
+En algunos casos podemos resolver una desigualdad utilizando que una función es monótona.
+Una función estrictamente creciente conserva el orden. Si f es estrictamente creciente,
+a < b
+implica
+f(a) < f(b).
+Por ejemplo, la función
+f(x)=x^3
+es estrictamente creciente.
+Por tanto,
+x^3 < 8
+equivale a
+x < 2,
+ya que
+^3=8.
+Una función estrictamente decreciente invierte el orden. Si f es estrictamente decreciente,
+a < b
+implica
+f(a) > f(b).
+Un ejemplo es la función recíproca
+f(x)=1/x
+cuando nos restringimos a los números positivos o, por separado, a los números negativos.
+Este comportamiento explica desde otro punto de vista la inversión de desigualdades entre recíprocos estudiada anteriormente.
+La monotonía permite resolver directamente muchas desigualdades, pero es necesario comprobar tanto el dominio de la función como el intervalo en el que sabemos que es creciente o decreciente.
+==== Análisis de signos de un polinomio ====
+Consideremos
+x^2-x-6 < 0.
+Queremos determinar dónde el polinomio
+x^2-x-6
+es negativo.
+Podemos factorizarlo:
+x^2-x-6 = (x-3)(x+2).
+Por tanto, debemos resolver
+(x-3)(x+2) < 0.
+Los factores se hacen cero cuando
+x=3
+y
+x=-2.
+Estos valores dividen la recta real en tres intervalos:
+x < -2
+-2 < x < 3
+x > 3
+Podemos determinar el signo de cada factor en cada intervalo.
+Si x < -2:
+x-3 < 0
+x+2 < 0
+El producto de dos números negativos es positivo, por lo que
+(x-3)(x+2) > 0.
+Si -2 < x < 3:
+x-3 < 0
+x+2 > 0
+El producto de un número negativo y otro positivo es negativo:
+(x-3)(x+2) < 0.
+Si x > 3:
+x-3 > 0
+x+2 > 0
+El producto es positivo.
+Por tanto,
+x^2-x-6 < 0
+exactamente cuando
+-2 < x < 3.
+Los puntos x=-2 y x=3 no forman parte de la solución porque en ellos el polinomio vale 0 y nuestra desigualdad es estricta.
+Si hubiéramos tenido
+x^2-x-6 <= 0,
+ambos puntos sí formarían parte de la solución:
+-2 <= x <= 3.
+==== Análisis de signos de una función racional ====
+La misma técnica puede utilizarse con funciones racionales, pero debemos prestar atención a los valores para los que la función no está definida.
+Consideremos
+(x^2-4)/(x-1) < 0.
+Factorizamos el numerador:
+%%((x-2)(x+2))/(x-1) < 0.%%
+Tenemos tres puntos relevantes:
+x=-2 hace que el numerador sea 0.
+x=1 hace que el denominador sea 0.
+x=2 hace que el numerador sea 0.
+Los puntos -2 y 2 son ceros de la función.
+El punto 1 es diferente: la función no está definida cuando x=1, porque supondría dividir por 0.
+Estos tres puntos dividen el dominio en cuatro intervalos:
+x < -2
+-2 < x < 1
+< x < 2
+x > 2
+Analizamos el signo de los tres factores en cada intervalo.
+Para x < -2:
+x-2 < 0
+x+2 < 0
+x-1 < 0
+El numerador es positivo y el denominador negativo. Por tanto, la expresión es negativa.
+Para -2 < x < 1:
+x-2 < 0
+x+2 > 0
+x-1 < 0
+El numerador es negativo y el denominador negativo. Por tanto, la expresión es positiva.
+Para 1 < x < 2:
+x-2 < 0
+x+2 > 0
+x-1 > 0
+La expresión es negativa.
+Para x > 2:
+x-2 > 0
+x+2 > 0
+x-1 > 0
+La expresión es positiva.
+Buscábamos los intervalos en los que la expresión fuese negativa. Por tanto, la solución es
+x < -2
+o
+< x < 2.
+Como la desigualdad es estricta, los ceros -2 y 2 no se incluyen.
+El valor 1 tampoco puede incluirse, pero por una razón diferente: no pertenece al dominio de la función.
+Incluso si la desigualdad fuese
+(x^2-4)/(x-1) <= 0,
+podríamos incluir x=-2 y x=2, pero nunca x=1.
+==== Procedimiento general para el análisis de signos por intervalos ====
+Los ejemplos anteriores sugieren un procedimiento general, cuando podemos localizar los ceros y las discontinuidades relevantes.
+Dada una desigualdad,
+f(x) < g(x),
+podemos proceder de la siguiente manera:
+Llevar todas las expresiones a un mismo lado:
+f(x)-g(x) < 0.
+Factorizar la expresión cuando sea posible.
+Encontrar sus ceros.
+Encontrar los valores que estén excluidos del dominio.
+Utilizar estos puntos para dividir el dominio en intervalos.
+Determinar el signo de la expresión en cada intervalo.
+Escoger los intervalos cuyo signo satisface la desigualdad original.
+Comprobar los extremos. Los ceros se incluyen en desigualdades no estrictas, como <= o >=, pero se excluyen en desigualdades estrictas, como < o >. Los puntos que no pertenecen al dominio se excluyen siempre.
+===== Por qué funciona el análisis de signos =====
+En los ejemplos anteriores hemos dividido la recta en intervalos determinados por los ceros de una función y por los puntos en los que deja de estar definida.
+Hay una razón matemática para que este procedimiento funcione.
+Una función continua no puede pasar de un valor negativo a uno positivo sin pasar por 0.
+Supongamos que f es continua en el intervalo comprendido entre a y b y que
+f(a) < 0
+mientras que
+f(b) > 0.
+El valor 0 se encuentra entre f(a) y f(b).
+El [[teoremas:valor_intermedio|teorema del valor intermedio]] nos asegura entonces que existe algún c entre a y b tal que
+%%f(c)=0.%%
+Por tanto, si una función es continua en un intervalo y no tiene ningún cero en él, no puede cambiar de signo dentro de ese intervalo.
+Esta propiedad justifica que, una vez encontrados todos los ceros y discontinuidades relevantes, podamos determinar el signo de la función separadamente en los intervalos resultantes.
+Para una explicación completa, véase [[conceptos:continuidad|Continuidad]] y [[teoremas:valor_intermedio|Teorema del valor intermedio]].
+==== Comprobar el signo mediante un punto ====
+La continuidad permite simplificar el análisis.
+Si sabemos que una función es continua y no tiene ningún cero dentro de un intervalo, sabemos que mantiene el mismo signo en todo ese intervalo.
+Por tanto, basta evaluar la función en un solo punto del intervalo para conocer su signo en todos sus puntos.
+Por ejemplo, para estudiar el signo de
+f(x)=(x-3)(x+2)
+en el intervalo
+-2 < x < 3,
+podemos escoger un punto sencillo, como
+x=0.
+Entonces,
+f(0)=(-3)*2=-6 < 0.
+Como f es continua y no tiene ningún cero entre -2 y 3, sabemos que es negativa en todo ese intervalo.
+Este método puede resultar más cómodo que analizar por separado el signo de cada factor.
+==== Cuando no podemos factorizar ====
+La factorización es una herramienta útil para encontrar ceros, pero el análisis de signos no depende de que podamos factorizar una expresión.
+Consideremos
+x^2+1 < 0.
+Sabemos que
+x^2 >= 0
+para todo número real x.
+Por tanto,
+x^2+1 >= 1 > 0.
+La desigualdad no tiene ninguna solución real.
+También podemos interpretar el resultado mediante continuidad.
+La función
+f(x)=x^2+1
+es continua en toda la recta real y no tiene ningún cero real.
+Por tanto, no puede cambiar de signo.
+Como, por ejemplo,
+f(0)=1 > 0,
+sabemos que
+f(x)>0
+para todo número real x.
+En este ejemplo, utilizar directamente que x^2 >= 0 es mucho más sencillo. Un método general no tiene por qué ser el método más conveniente para cada problema.
+==== Límites del método ======
+El análisis de signos es especialmente sencillo para polinomios y funciones racionales porque sus ceros y exclusiones del dominio permiten dividir la recta en un número manejable de intervalos.
+Otras funciones pueden requerir información adicional.
+Por ejemplo:
+Las funciones exponenciales y logarítmicas suelen estudiarse utilizando su dominio y monotonía.
+Las funciones trigonométricas requieren tener en cuenta su periodicidad y sus signos en distintos intervalos.
+Algunas funciones pueden tener infinitos ceros.
+En otros casos puede ser difícil o imposible encontrar exactamente todos los ceros.
+Por tanto, el análisis de signos no sustituye al estudio de las propiedades particulares de cada tipo de función. Proporciona un marco general en el que utilizar esas propiedades.
 ===== Cotas =====
@@ Línea 484: / Línea 1095: @@
 Por ejemplo,
-|x| < 3
+%%|x| < 3%%
 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 3.
@@ Línea 494: / Línea 1105: @@
 Más generalmente, si eps > 0,
-|x - a| < eps
+%%|x - a| < eps%%
 equivale a
@@ Línea 502: / Línea 1113: @@
 Esta equivalencia es especialmente importante para estudiar límites.
-Decimos que x se encuentra en un radio eps the a, es decir, eps denota la distancia máxima a la que x puede encontrarse de a, y viceversa.
+Desde un enfoque geométrico o topológico, decimos que x se encuentra dentro
+de una bola abierta de centro a y radio eps. Es decir, eps establece una
+cota estricta para la distancia entre x y a:
-Una cuestión curiosa de los valores absolutos es que la diferencia es conmutativa:
+%%|x-a| < eps%%
-|a-b| = |b-a|
+En la recta real, esto equivale a decir que x pertenece al intervalo abierto
-Esto resulta obvio si tenemos en cuenta el enfoque métrico.
+(a-eps,a+eps)
+Una propiedad importante del valor absoluto de la diferencia es su simetría:
+%%|a-b| = |b-a|%%
+Esto resulta natural si interpretamos el valor absoluto de la diferencia
+como una distancia.
+Si a se encuentra a distancia 2 de b, entonces b también se encuentra a
+distancia 2 de a.
+Podemos demostrarlo algebraicamente observando que
+a-b = -(b-a)
+y que un número y su opuesto tienen el mismo valor absoluto:
+%%|x| = |-x|%%
+Por tanto,
-Si a está a una distancia 2 de b, b está a una distancia 2 de a.
+%%|a-b| = |-(b-a)| = |b-a|%%.
 El valor absoluto y sus propiedades se estudian con más detalle en [[conceptos:valor_absoluto|Valor absoluto]].
@@ Línea 560: / Línea 1193: @@
 Esta diferencia puede ser importante. Por ejemplo, en la definición habitual de límite exigimos
-|a_n - L| < eps
+%%|a_n - L| < eps%%
 y no simplemente
-|a_n - L| <= eps.
+%%|a_n - L| <= eps.%%
 ===== Ejercicios =====