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conceptos:desigualdades

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conceptos:desigualdades [2026/08/20 20:20] – creado modulusconceptos:desigualdades [2026/08/20 21:16] (actual) – [Confundir desigualdad estricta y no estricta] modulus
Línea 29: Línea 29:
 ===== El orden de los números reales ===== ===== El orden de los números reales =====
  
-Los números reales están ordenados. (De hecho, se dice que los números reales son el campo ordenado completo.)+Los números reales están ordenados.
  
 Dados dos números reales a y b, podemos comparar sus valores. Dados dos números reales a y b, podemos comparar sus valores.
Línea 63: Línea 63:
  
 r1 < r2, o r1 > r2, o r1 = r2. r1 < r2, o r1 > r2, o r1 = r2.
 +
 +**Nota constructiva**: la tricotomía se puede predicar de los números reales clásicos, pero no es constructivamente válida en general para una representación constructiva arbitraria de los reales.
  
 También es importante conocer la forma de negar una desigualdad (muy útil para negar un predicado lógico que la contenga). También es importante conocer la forma de negar una desigualdad (muy útil para negar un predicado lógico que la contenga).
  
 no(a<b)=a>=b no(a<b)=a>=b
 +
 no(a<=b)=a>b no(a<=b)=a>b
 +
 no(a>b)=a<=b no(a>b)=a<=b
 +
 no(a>=b)=a<b no(a>=b)=a<b
  
Línea 77: Línea 82:
   * a >= b   * a >= b
  
-has probado que no(a>b) y no(a<b) , por tanto y por eliminación, a=b.+has probado que no(a>b) y no(a<b). Dada la tricotonía, exactamente una de las tres posibilidades debe ser cierta, por tanto, a=b.
  
 +**Nota constructiva:** en matemática clásica podemos decidir entre
 +x < 0, x = 0 y x > 0 mediante la tricotomía. Esta propiedad no es
 +constructivamente válida para los números reales en general. Cuando una
 +demostración utilice esta separación de casos, lo indicaremos.
 ===== Propiedades fundamentales ===== ===== Propiedades fundamentales =====
  
Línea 195: Línea 204:
 entonces entonces
  
-a*c > b*c.+ac > bc.
  
 Por ejemplo, Por ejemplo,
Línea 207: Línea 216:
 Esta regla es una consecuencia del orden de los números reales, no una convención arbitraria. Esta regla es una consecuencia del orden de los números reales, no una convención arbitraria.
  
-Para verlo, partimos de+Veamos primero qué ocurre al multiplicar por -1.
  
-a < b.+Tenemos la desigualdad
  
-Restamos b a ambos lados:+a < b
  
-a - b < 0.+y queremos averiguar qué ocurre cuando multiplicamos ambos lados por -1.
  
-Multiplicamos por -1:+Por tanto, queremos encontrar una relación entre
  
-b - a > 0.+-a
  
-Sumamos a a ambos lados:+y
  
-b > a.+-b.
  
-Por tanto,+Sabemos que podemos restar la misma cantidad de ambos lados sin alterar el 
 +sentido de una desigualdad. Busquemos entonces qué cantidad tendríamos que 
 +restar a a para obtener -b. 
 + 
 +Llamemos x a esa cantidad. Queremos que 
 + 
 +a-x = -b. 
 + 
 +Despejando x, 
 + 
 +x = a+b. 
 + 
 +Comprobamos qué ocurre al restar esa misma cantidad de b: 
 + 
 +b-(a+b) = -a. 
 + 
 +Por tanto, al restar a+b de ambos lados de 
 + 
 +a < b 
 + 
 +obtenemos 
 + 
 +a-(a+b) < b-(a+b), 
 + 
 +y simplificando, 
 + 
 +-b < -a. 
 + 
 +Esto equivale a 
 + 
 +-a > -b. 
 + 
 +Como -a=(-1)*a y -b=(-1)*b, hemos demostrado que multiplicar ambos lados 
 +de una desigualdad por -1 invierte su sentido. 
 + 
 +Podemos obtener ahora el resultado para cualquier número negativo c. 
 + 
 +Si 
 + 
 +c < 0, 
 + 
 +entonces 
 + 
 +-c > 0. 
 + 
 +Como -c es positivo, podemos multiplicar 
 + 
 +a < b
  
--a > -b+por -c sin cambiar el sentido de la desigualdad:
  
-cuando partíamos de+a(-c) < b(-c).
  
-a < b.+Multiplicando ahora ambos lados por -1, el sentido se invierte:
  
-La misma idea permite demostrar el resultado para cualquier factor negativo.+ac > bc.
  
 +Por tanto, multiplicar ambos lados de una desigualdad por cualquier número negativo invierte su sentido.
 ==== División ==== ==== División ====
  
Línea 337: Línea 394:
 -2 < x < 4 -2 < x < 4
 implica implica
--2 < x < 0 o 0 < x < 4.+-2 < x < 0 o 0 < x < 4 o x=0.
  
 En el primer caso, x es una cantidad negativa: En el primer caso, x es una cantidad negativa:
Línea 356: Línea 413:
  
 0x=0 < x*x=x^2 < -2x 0x=0 < x*x=x^2 < -2x
 +
 0 < x^2 < -2x < 4 0 < x^2 < -2x < 4
  
Línea 381: Línea 439:
  
 x^2 = 0 o 0 < x^2 < 4 o 0 < x^2 < 16 x^2 = 0 o 0 < x^2 < 4 o 0 < x^2 < 16
 +
 implica implica
 +
 0 <= x^2 < 16 0 <= x^2 < 16
  
 Fíjate que, como x^2 puede ser 0, la desigualdad entre x^2 y cero no es estricta (<). Es un error común no prestar atención a los extremos de una desigualdad. Fíjate que, como x^2 puede ser 0, la desigualdad entre x^2 y cero no es estricta (<). Es un error común no prestar atención a los extremos de una desigualdad.
- 
 ===== Cotas ===== ===== Cotas =====
  
Línea 484: Línea 543:
 Por ejemplo, Por ejemplo,
  
-|x| < 3+%%|x| < 3%%
  
 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 3. significa que la distancia entre x y 0 es menor que 3.
Línea 494: Línea 553:
 Más generalmente, si eps > 0, Más generalmente, si eps > 0,
  
-|x - a| < eps+%%|x - a| < eps%%
  
 equivale a equivale a
Línea 502: Línea 561:
 Esta equivalencia es especialmente importante para estudiar límites. Esta equivalencia es especialmente importante para estudiar límites.
  
-Decimos que x se encuentra en un radio eps the a, es decir, eps denota la distancia máxima a la que x puede encontrarse de a, y viceversa.+Desde un enfoque geométrico o topológico, decimos que x se encuentra dentro 
 +de una bola abierta de centro a y radio eps. Es decir, eps establece una 
 +cota estricta para la distancia entre x y a:
  
-Una cuestión curiosa de los valores absolutos es que la diferencia es conmutativa:+%%|x-a| < eps%%
  
-|a-b| = |b-a|+En la recta real, esto equivale a decir que x pertenece al intervalo abierto
  
-Esto resulta obvio si tenemos en cuenta el enfoque métrico.+(a-eps,a+eps) 
 + 
 +Una propiedad importante del valor absoluto de la diferencia es su simetría: 
 + 
 +%%|a-b| = |b-a|%% 
 + 
 +Esto resulta natural si interpretamos el valor absoluto de la diferencia 
 +como una distancia. 
 + 
 +Si a se encuentra a distancia 2 de b, entonces b también se encuentra a 
 +distancia 2 de a. 
 + 
 +Podemos demostrarlo algebraicamente observando que 
 + 
 +a-b = -(b-a) 
 + 
 +y que un número y su opuesto tienen el mismo valor absoluto: 
 + 
 +%%|x| = |-x|%% 
 + 
 +Por tanto,
  
-Si a está a una distancia 2 de b, b está a una distancia 2 de a.+%%|a-b| = |-(b-a)| = |b-a|%%.
  
 El valor absoluto y sus propiedades se estudian con más detalle en [[conceptos:valor_absoluto|Valor absoluto]]. El valor absoluto y sus propiedades se estudian con más detalle en [[conceptos:valor_absoluto|Valor absoluto]].
Línea 560: Línea 641:
 Esta diferencia puede ser importante. Por ejemplo, en la definición habitual de límite exigimos Esta diferencia puede ser importante. Por ejemplo, en la definición habitual de límite exigimos
  
-|a_n - L| < eps+%%|a_n - L| < eps%%
  
 y no simplemente y no simplemente
  
-|a_n - L| <= eps.+%%|a_n - L| <= eps.%%
  
 ===== Ejercicios ===== ===== Ejercicios =====
conceptos/desigualdades.1787257231.txt.gz · Última modificación: por modulus