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conceptos:desigualdades

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conceptos:desigualdades [2026/08/20 21:02] – [El orden de los números reales] modulusconceptos:desigualdades [2026/08/20 21:16] (actual) – [Confundir desigualdad estricta y no estricta] modulus
Línea 394: Línea 394:
 -2 < x < 4 -2 < x < 4
 implica implica
--2 < x < 0 o 0 < x < 4.+-2 < x < 0 o 0 < x < 4 o x=0.
  
 En el primer caso, x es una cantidad negativa: En el primer caso, x es una cantidad negativa:
Línea 413: Línea 413:
  
 0x=0 < x*x=x^2 < -2x 0x=0 < x*x=x^2 < -2x
 +
 0 < x^2 < -2x < 4 0 < x^2 < -2x < 4
  
Línea 438: Línea 439:
  
 x^2 = 0 o 0 < x^2 < 4 o 0 < x^2 < 16 x^2 = 0 o 0 < x^2 < 4 o 0 < x^2 < 16
 +
 implica implica
 +
 0 <= x^2 < 16 0 <= x^2 < 16
  
 Fíjate que, como x^2 puede ser 0, la desigualdad entre x^2 y cero no es estricta (<). Es un error común no prestar atención a los extremos de una desigualdad. Fíjate que, como x^2 puede ser 0, la desigualdad entre x^2 y cero no es estricta (<). Es un error común no prestar atención a los extremos de una desigualdad.
- 
 ===== Cotas ===== ===== Cotas =====
  
Línea 559: Línea 561:
 Esta equivalencia es especialmente importante para estudiar límites. Esta equivalencia es especialmente importante para estudiar límites.
  
-Decimos que x se encuentra en un radio eps the a, es decir, eps denota la distancia máxima a la que x puede encontrarse de a, y viceversa.+Desde un enfoque geométrico o topológico, decimos que x se encuentra dentro 
 +de una bola abierta de centro a y radio eps. Es decir, eps establece una 
 +cota estricta para la distancia entre x y a:
  
-Una cuestión curiosa de los valores absolutos es que la diferencia es conmutativa:+%%|x-a| < eps%% 
 + 
 +En la recta real, esto equivale a decir que x pertenece al intervalo abierto 
 + 
 +(a-eps,a+eps) 
 + 
 +Una propiedad importante del valor absoluto de la diferencia es su simetría:
  
 %%|a-b| = |b-a|%% %%|a-b| = |b-a|%%
  
-Esto resulta obvio si tenemos en cuenta el enfoque métrico.+Esto resulta natural si interpretamos el valor absoluto de la diferencia 
 +como una distancia. 
 + 
 +Si a se encuentra a distancia 2 de b, entonces b también se encuentra a 
 +distancia 2 de a. 
 + 
 +Podemos demostrarlo algebraicamente observando que 
 + 
 +a-b = -(b-a) 
 + 
 +y que un número y su opuesto tienen el mismo valor absoluto: 
 + 
 +%%|x| = |-x|%% 
 + 
 +Por tanto,
  
-Si a está a una distancia 2 de b, b está a una distancia 2 de a.+%%|a-b| = |-(b-a)| = |b-a|%%.
  
 El valor absoluto y sus propiedades se estudian con más detalle en [[conceptos:valor_absoluto|Valor absoluto]]. El valor absoluto y sus propiedades se estudian con más detalle en [[conceptos:valor_absoluto|Valor absoluto]].
Línea 617: Línea 641:
 Esta diferencia puede ser importante. Por ejemplo, en la definición habitual de límite exigimos Esta diferencia puede ser importante. Por ejemplo, en la definición habitual de límite exigimos
  
-|a_n - L| < eps+%%|a_n - L| < eps%%
  
 y no simplemente y no simplemente
  
-|a_n - L| <= eps.+%%|a_n - L| <= eps.%%
  
 ===== Ejercicios ===== ===== Ejercicios =====
conceptos/desigualdades.1787259732.txt.gz · Última modificación: por modulus