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--- conceptos:desigualdades [2026/08/20 21:14] – [Desigualdades y valor absoluto] modulus
+++ conceptos:desigualdades [2026/08/22 04:58] (actual) – [Transitividad] modulus
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 r1 < r2, o r1 > r2, o r1 = r2.
-**Nota constructiva**: la tricotomía se puede predicar de los números reales clásicos, pero no es constructivamente válida en general para una representación constructiva arbitraria de los reales.
+**Nota**: la tricotomía se puede predicar de los números reales clásicos, pero no es constructivamente válida en general para una representación arbitraria de los reales.
 También es importante conocer la forma de negar una desigualdad (muy útil para negar un predicado lógico que la contenga).
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 has probado que no(a>b) y no(a<b). Dada la tricotonía, exactamente una de las tres posibilidades debe ser cierta, por tanto, a=b.
-**Nota constructiva:** en matemática clásica podemos decidir entre
+**Nota:** en matemática clásica podemos decidir entre
 x < 0, x = 0 y x > 0 mediante la tricotomía. Esta propiedad no es
 constructivamente válida para los números reales en general. Cuando una
 demostración utilice esta separación de casos, lo indicaremos.
 ===== Propiedades fundamentales =====
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 < 8.
-La transitividad es una consecuencia de la propiedad de orden total de los reales.
+La transitividad es una consecuencia de la propiedad de orden de los reales.
 Esta propiedad permite formar cadenas de desigualdades.
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 entonces
-a*c < b*c.
+ac < bc.
 Por ejemplo,
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 Por tanto, multiplicar ambos lados de una desigualdad por cualquier número negativo invierte su sentido.
 ==== División ====
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 No podemos dividir por 0, la operación está indefinida.
+==== Desigualdad entre recíprocas ====
+Cuando tenemos una desigualdad en que ambos valores tienen el mismo signo, podemos determinar la relación entre sus recíprocas.
+Por ejemplo, si empezamos por,
+< 2 < 3
+podemos determinar que,
+< 1/3 < 1/2
+Si tenemos,
+-3 < -2 < 0
+entonces,
+-1/2 < -1/3 < 0
+Es decir, tomar la reciproca invierte el sentido de la desigualdad.
+Esta propiedad tampoco es una convención arbitraria, sino que se puede demostrar.
+Supongamos que
+< a < b
+Queremos determinar la relación entre 1/a y 1/b.
+Vamos a buscar un número x que, dividiendo a, resulte en 1/b:
+a/x = 1/b
+Despejando x,
+x=ab.
+Veamos que ocurre si dividimos b entre x:
+b/x=b/ab=1/a.
+Por tanto, podemos dividir la desigualdad
+a < b
+por el mismo número y obtener una relación entre 1/a y 1/b.
+Además, como 0 < a y 0 < b, ab es un número positivo, por lo que dividir por él no invierte el sentido de la desigualdad.
+Por consiguiente,
+a < b
+a/x < b/x
+a/ab < b/ab
+/b < 1/a
+/a > 1/b.
+La misma demostración se puede aplicar cuando a y b son negativos, ya que ab también es un número positivo.
+En caso que tengamos,
+a < 0 < b
+podemos deducir,
+/a < 0 < 1/b,
+ya que las recíprocas mantienen su signo.
+Si desconocemos los signos de las variables, la desigualdad a < b no nos permite deducir el orden de sus recíprocas.
+Por ejemplo,
+-3 < a < b < 3
+podría resultar en,
+/a < 1/b o 1/b < 1/a.
+De hecho, sin la restricción de que a!=0 y b!=0, 1/a o 1/b podrían no estar definidas.
+En este caso lo único que podemos negar es la igualdad entre las recíprocas.
+En conclusión, la toma de recíproco invierte el orden de los números reales positivos y de los negativos, pero no de estos entre sí.
+Formalmente,
+f(x)=1/x es estrictamente decreciente para x>0, y para x < 0, pero no para todo el dominio.
+-3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3
+resulta, tomando recíproco (con la salvedad de que el cero no lo tiene) en
+-1 < -1/2 < -1/3 < 0 < 1/3 < 1/2 < 1
 ===== Referencia rápida =====
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 Antes de multiplicar o dividir una desigualdad por una cantidad cuyo valor no conocemos, debemos determinar si esa cantidad es positiva, negativa o cero.
+Si 0 < a < b,
+< 1/b < 1/a
+Si 0 > a > b,
+> 1/b > 1/a
+Si a < 0 < b,
+/a < 0 < 1/b
 ===== Resolver desigualdades =====
 Resolver una desigualdad significa determinar qué valores de una variable hacen verdadera la desigualdad.
+Existen varios métodos, dependiendo del tipo de desigualdad de que se trate.
+==== Resolución de desigualdades lineales ====
+Una desigualdad lineal es aquella de la forma
+ax+by < k
+Donde a, b, son números reales, x, y, son variables, y k es un número real.
+La restricción que deja de hacerla lineal es que alguna de las variables esté elevada a una potencia distinta de 1.
+x<3y es lineal, se puede reescribir como 2x-3y<0, con 2=a, x=x, -3=b, y=y, y 0=k.
+x^2<0 no es lineal, porque x está elevada a 2.
+Veamos el método para la resolución.
 Por ejemplo, consideremos
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 Fíjate que, como x^2 puede ser 0, la desigualdad entre x^2 y cero no es estricta (<). Es un error común no prestar atención a los extremos de una desigualdad.
+==== Más allá de las desigualdades lineales ====
+En los ejemplos anteriores hemos resuelto desigualdades transformándolas paso a paso hasta aislar la variable.
+Por ejemplo,
+x + 3 < 9
+equivale a
+x < 6
+y finalmente a
+x < 3.
+Este procedimiento funciona especialmente bien con desigualdades lineales. Sin embargo, no siempre es posible aislar la variable mediante transformaciones sencillas.
+Consideremos, por ejemplo,
+x^2 - x - 6 < 0.
+En este caso podemos utilizar una estrategia más general: determinar para qué valores de x la expresión situada a la izquierda es negativa.
+En general, una desigualdad de la forma
+f(x) < g(x)
+puede transformarse, restando g(x) de ambos lados, en
+f(x)-g(x) < 0.
+Resolver la desigualdad consiste entonces en determinar dónde la función
+h(x)=f(x)-g(x)
+es negativa.
+De forma análoga:
+h(x) > 0 pide los valores para los que h es positiva.
+h(x) <= 0 pide los valores para los que h es negativa o cero.
+h(x) >= 0 pide los valores para los que h es positiva o cero.
+Este enfoque recibe el nombre de análisis de signos.
+==== Resolución mediante monotonía ====
+En algunos casos podemos resolver una desigualdad utilizando que una función es monótona.
+Una función estrictamente creciente conserva el orden. Si f es estrictamente creciente,
+a < b
+implica
+f(a) < f(b).
+Por ejemplo, la función
+f(x)=x^3
+es estrictamente creciente.
+Por tanto,
+x^3 < 8
+equivale a
+x < 2,
+ya que
+^3=8.
+Una función estrictamente decreciente invierte el orden. Si f es estrictamente decreciente,
+a < b
+implica
+f(a) > f(b).
+Un ejemplo es la función recíproca
+f(x)=1/x
+cuando nos restringimos a los números positivos o, por separado, a los números negativos.
+Este comportamiento explica desde otro punto de vista la inversión de desigualdades entre recíprocos estudiada anteriormente.
+La monotonía permite resolver directamente muchas desigualdades, pero es necesario comprobar tanto el dominio de la función como el intervalo en el que sabemos que es creciente o decreciente.
+==== Análisis de signos de un polinomio ====
+Consideremos
+x^2-x-6 < 0.
+Queremos determinar dónde el polinomio
+x^2-x-6
+es negativo.
+Podemos factorizarlo:
+x^2-x-6 = (x-3)(x+2).
+Por tanto, debemos resolver
+(x-3)(x+2) < 0.
+Los factores se hacen cero cuando
+x=3
+y
+x=-2.
+Estos valores dividen la recta real en tres intervalos:
+x < -2
+-2 < x < 3
+x > 3
+Podemos determinar el signo de cada factor en cada intervalo.
+Si x < -2:
+x-3 < 0
+x+2 < 0
+El producto de dos números negativos es positivo, por lo que
+(x-3)(x+2) > 0.
+Si -2 < x < 3:
+x-3 < 0
+x+2 > 0
+El producto de un número negativo y otro positivo es negativo:
+(x-3)(x+2) < 0.
+Si x > 3:
+x-3 > 0
+x+2 > 0
+El producto es positivo.
+Por tanto,
+x^2-x-6 < 0
+exactamente cuando
+-2 < x < 3.
+Los puntos x=-2 y x=3 no forman parte de la solución porque en ellos el polinomio vale 0 y nuestra desigualdad es estricta.
+Si hubiéramos tenido
+x^2-x-6 <= 0,
+ambos puntos sí formarían parte de la solución:
+-2 <= x <= 3.
+==== Análisis de signos de una función racional ====
+La misma técnica puede utilizarse con funciones racionales, pero debemos prestar atención a los valores para los que la función no está definida.
+Consideremos
+(x^2-4)/(x-1) < 0.
+Factorizamos el numerador:
+%%((x-2)(x+2))/(x-1) < 0.%%
+Tenemos tres puntos relevantes:
+x=-2 hace que el numerador sea 0.
+x=1 hace que el denominador sea 0.
+x=2 hace que el numerador sea 0.
+Los puntos -2 y 2 son ceros de la función.
+El punto 1 es diferente: la función no está definida cuando x=1, porque supondría dividir por 0.
+Estos tres puntos dividen el dominio en cuatro intervalos:
+x < -2
+-2 < x < 1
+< x < 2
+x > 2
+Analizamos el signo de los tres factores en cada intervalo.
+Para x < -2:
+x-2 < 0
+x+2 < 0
+x-1 < 0
+El numerador es positivo y el denominador negativo. Por tanto, la expresión es negativa.
+Para -2 < x < 1:
+x-2 < 0
+x+2 > 0
+x-1 < 0
+El numerador es negativo y el denominador negativo. Por tanto, la expresión es positiva.
+Para 1 < x < 2:
+x-2 < 0
+x+2 > 0
+x-1 > 0
+La expresión es negativa.
+Para x > 2:
+x-2 > 0
+x+2 > 0
+x-1 > 0
+La expresión es positiva.
+Buscábamos los intervalos en los que la expresión fuese negativa. Por tanto, la solución es
+x < -2
+o
+< x < 2.
+Como la desigualdad es estricta, los ceros -2 y 2 no se incluyen.
+El valor 1 tampoco puede incluirse, pero por una razón diferente: no pertenece al dominio de la función.
+Incluso si la desigualdad fuese
+(x^2-4)/(x-1) <= 0,
+podríamos incluir x=-2 y x=2, pero nunca x=1.
+==== Procedimiento general para el análisis de signos por intervalos ====
+Los ejemplos anteriores sugieren un procedimiento general, cuando podemos localizar los ceros y las discontinuidades relevantes.
+Dada una desigualdad,
+f(x) < g(x),
+podemos proceder de la siguiente manera:
+Llevar todas las expresiones a un mismo lado:
+f(x)-g(x) < 0.
+Factorizar la expresión cuando sea posible.
+Encontrar sus ceros.
+Encontrar los valores que estén excluidos del dominio.
+Utilizar estos puntos para dividir el dominio en intervalos.
+Determinar el signo de la expresión en cada intervalo.
+Escoger los intervalos cuyo signo satisface la desigualdad original.
+Comprobar los extremos. Los ceros se incluyen en desigualdades no estrictas, como <= o >=, pero se excluyen en desigualdades estrictas, como < o >. Los puntos que no pertenecen al dominio se excluyen siempre.
+===== Por qué funciona el análisis de signos =====
+En los ejemplos anteriores hemos dividido la recta en intervalos determinados por los ceros de una función y por los puntos en los que deja de estar definida.
+Hay una razón matemática para que este procedimiento funcione.
+Una función continua no puede pasar de un valor negativo a uno positivo sin pasar por 0.
+Supongamos que f es continua en el intervalo comprendido entre a y b y que
+f(a) < 0
+mientras que
+f(b) > 0.
+El valor 0 se encuentra entre f(a) y f(b).
+El [[teoremas:valor_intermedio|teorema del valor intermedio]] nos asegura entonces que existe algún c entre a y b tal que
+%%f(c)=0.%%
+Por tanto, si una función es continua en un intervalo y no tiene ningún cero en él, no puede cambiar de signo dentro de ese intervalo.
+Esta propiedad justifica que, una vez encontrados todos los ceros y discontinuidades relevantes, podamos determinar el signo de la función separadamente en los intervalos resultantes.
+Para una explicación completa, véase [[conceptos:continuidad|Continuidad]] y [[teoremas:valor_intermedio|Teorema del valor intermedio]].
+==== Comprobar el signo mediante un punto ====
+La continuidad permite simplificar el análisis.
+Si sabemos que una función es continua y no tiene ningún cero dentro de un intervalo, sabemos que mantiene el mismo signo en todo ese intervalo.
+Por tanto, basta evaluar la función en un solo punto del intervalo para conocer su signo en todos sus puntos.
+Por ejemplo, para estudiar el signo de
+f(x)=(x-3)(x+2)
+en el intervalo
+-2 < x < 3,
+podemos escoger un punto sencillo, como
+x=0.
+Entonces,
+f(0)=(-3)*2=-6 < 0.
+Como f es continua y no tiene ningún cero entre -2 y 3, sabemos que es negativa en todo ese intervalo.
+Este método puede resultar más cómodo que analizar por separado el signo de cada factor.
+==== Cuando no podemos factorizar ====
+La factorización es una herramienta útil para encontrar ceros, pero el análisis de signos no depende de que podamos factorizar una expresión.
+Consideremos
+x^2+1 < 0.
+Sabemos que
+x^2 >= 0
+para todo número real x.
+Por tanto,
+x^2+1 >= 1 > 0.
+La desigualdad no tiene ninguna solución real.
+También podemos interpretar el resultado mediante continuidad.
+La función
+f(x)=x^2+1
+es continua en toda la recta real y no tiene ningún cero real.
+Por tanto, no puede cambiar de signo.
+Como, por ejemplo,
+f(0)=1 > 0,
+sabemos que
+f(x)>0
+para todo número real x.
+En este ejemplo, utilizar directamente que x^2 >= 0 es mucho más sencillo. Un método general no tiene por qué ser el método más conveniente para cada problema.
+==== Límites del método ======
+El análisis de signos es especialmente sencillo para polinomios y funciones racionales porque sus ceros y exclusiones del dominio permiten dividir la recta en un número manejable de intervalos.
+Otras funciones pueden requerir información adicional.
+Por ejemplo:
+Las funciones exponenciales y logarítmicas suelen estudiarse utilizando su dominio y monotonía.
+Las funciones trigonométricas requieren tener en cuenta su periodicidad y sus signos en distintos intervalos.
+Algunas funciones pueden tener infinitos ceros.
+En otros casos puede ser difícil o imposible encontrar exactamente todos los ceros.
+Por tanto, el análisis de signos no sustituye al estudio de las propiedades particulares de cada tipo de función. Proporciona un marco general en el que utilizar esas propiedades.
 ===== Cotas =====
@@ Línea 641: / Línea 1193: @@
 Esta diferencia puede ser importante. Por ejemplo, en la definición habitual de límite exigimos
-|a_n - L| < eps
+%%|a_n - L| < eps%%
 y no simplemente
-|a_n - L| <= eps.
+%%|a_n - L| <= eps.%%
 ===== Ejercicios =====