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--- conceptos:desigualdades [2026/08/21 11:20] – [Recíproca] modulus
+++ conceptos:desigualdades [2026/08/22 04:58] (actual) – [Transitividad] modulus
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 < 8.
-La transitividad es una consecuencia de la propiedad de orden total de los reales.
+La transitividad es una consecuencia de la propiedad de orden de los reales.
 Esta propiedad permite formar cadenas de desigualdades.
@@ Línea 410: / Línea 410: @@
 Formalmente,
 f(x)=1/x es estrictamente decreciente para x>0, y para x < 0, pero no para todo el dominio.
 -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3
@@ Línea 418: / Línea 418: @@
 -1 < -1/2 < -1/3 < 0 < 1/3 < 1/2 < 1
 ===== Referencia rápida =====
@@ Línea 432: / Línea 431: @@
 Antes de multiplicar o dividir una desigualdad por una cantidad cuyo valor no conocemos, debemos determinar si esa cantidad es positiva, negativa o cero.
+Si 0 < a < b,
+< 1/b < 1/a
+Si 0 > a > b,
+> 1/b > 1/a
+Si a < 0 < b,
+/a < 0 < 1/b
 ===== Resolver desigualdades =====
 Resolver una desigualdad significa determinar qué valores de una variable hacen verdadera la desigualdad.
+Existen varios métodos, dependiendo del tipo de desigualdad de que se trate.
+==== Resolución de desigualdades lineales ====
+Una desigualdad lineal es aquella de la forma
+ax+by < k
+Donde a, b, son números reales, x, y, son variables, y k es un número real.
+La restricción que deja de hacerla lineal es que alguna de las variables esté elevada a una potencia distinta de 1.
+x<3y es lineal, se puede reescribir como 2x-3y<0, con 2=a, x=x, -3=b, y=y, y 0=k.
+x^2<0 no es lineal, porque x está elevada a 2.
+Veamos el método para la resolución.
 Por ejemplo, consideremos
@@ Línea 548: / Línea 577: @@
 Fíjate que, como x^2 puede ser 0, la desigualdad entre x^2 y cero no es estricta (<). Es un error común no prestar atención a los extremos de una desigualdad.
+==== Más allá de las desigualdades lineales ====
+En los ejemplos anteriores hemos resuelto desigualdades transformándolas paso a paso hasta aislar la variable.
+Por ejemplo,
+x + 3 < 9
+equivale a
+x < 6
+y finalmente a
+x < 3.
+Este procedimiento funciona especialmente bien con desigualdades lineales. Sin embargo, no siempre es posible aislar la variable mediante transformaciones sencillas.
+Consideremos, por ejemplo,
+x^2 - x - 6 < 0.
+En este caso podemos utilizar una estrategia más general: determinar para qué valores de x la expresión situada a la izquierda es negativa.
+En general, una desigualdad de la forma
+f(x) < g(x)
+puede transformarse, restando g(x) de ambos lados, en
+f(x)-g(x) < 0.
+Resolver la desigualdad consiste entonces en determinar dónde la función
+h(x)=f(x)-g(x)
+es negativa.
+De forma análoga:
+h(x) > 0 pide los valores para los que h es positiva.
+h(x) <= 0 pide los valores para los que h es negativa o cero.
+h(x) >= 0 pide los valores para los que h es positiva o cero.
+Este enfoque recibe el nombre de análisis de signos.
+==== Resolución mediante monotonía ====
+En algunos casos podemos resolver una desigualdad utilizando que una función es monótona.
+Una función estrictamente creciente conserva el orden. Si f es estrictamente creciente,
+a < b
+implica
+f(a) < f(b).
+Por ejemplo, la función
+f(x)=x^3
+es estrictamente creciente.
+Por tanto,
+x^3 < 8
+equivale a
+x < 2,
+ya que
+^3=8.
+Una función estrictamente decreciente invierte el orden. Si f es estrictamente decreciente,
+a < b
+implica
+f(a) > f(b).
+Un ejemplo es la función recíproca
+f(x)=1/x
+cuando nos restringimos a los números positivos o, por separado, a los números negativos.
+Este comportamiento explica desde otro punto de vista la inversión de desigualdades entre recíprocos estudiada anteriormente.
+La monotonía permite resolver directamente muchas desigualdades, pero es necesario comprobar tanto el dominio de la función como el intervalo en el que sabemos que es creciente o decreciente.
+==== Análisis de signos de un polinomio ====
+Consideremos
+x^2-x-6 < 0.
+Queremos determinar dónde el polinomio
+x^2-x-6
+es negativo.
+Podemos factorizarlo:
+x^2-x-6 = (x-3)(x+2).
+Por tanto, debemos resolver
+(x-3)(x+2) < 0.
+Los factores se hacen cero cuando
+x=3
+y
+x=-2.
+Estos valores dividen la recta real en tres intervalos:
+x < -2
+-2 < x < 3
+x > 3
+Podemos determinar el signo de cada factor en cada intervalo.
+Si x < -2:
+x-3 < 0
+x+2 < 0
+El producto de dos números negativos es positivo, por lo que
+(x-3)(x+2) > 0.
+Si -2 < x < 3:
+x-3 < 0
+x+2 > 0
+El producto de un número negativo y otro positivo es negativo:
+(x-3)(x+2) < 0.
+Si x > 3:
+x-3 > 0
+x+2 > 0
+El producto es positivo.
+Por tanto,
+x^2-x-6 < 0
+exactamente cuando
+-2 < x < 3.
+Los puntos x=-2 y x=3 no forman parte de la solución porque en ellos el polinomio vale 0 y nuestra desigualdad es estricta.
+Si hubiéramos tenido
+x^2-x-6 <= 0,
+ambos puntos sí formarían parte de la solución:
+-2 <= x <= 3.
+==== Análisis de signos de una función racional ====
+La misma técnica puede utilizarse con funciones racionales, pero debemos prestar atención a los valores para los que la función no está definida.
+Consideremos
+(x^2-4)/(x-1) < 0.
+Factorizamos el numerador:
+%%((x-2)(x+2))/(x-1) < 0.%%
+Tenemos tres puntos relevantes:
+x=-2 hace que el numerador sea 0.
+x=1 hace que el denominador sea 0.
+x=2 hace que el numerador sea 0.
+Los puntos -2 y 2 son ceros de la función.
+El punto 1 es diferente: la función no está definida cuando x=1, porque supondría dividir por 0.
+Estos tres puntos dividen el dominio en cuatro intervalos:
+x < -2
+-2 < x < 1
+< x < 2
+x > 2
+Analizamos el signo de los tres factores en cada intervalo.
+Para x < -2:
+x-2 < 0
+x+2 < 0
+x-1 < 0
+El numerador es positivo y el denominador negativo. Por tanto, la expresión es negativa.
+Para -2 < x < 1:
+x-2 < 0
+x+2 > 0
+x-1 < 0
+El numerador es negativo y el denominador negativo. Por tanto, la expresión es positiva.
+Para 1 < x < 2:
+x-2 < 0
+x+2 > 0
+x-1 > 0
+La expresión es negativa.
+Para x > 2:
+x-2 > 0
+x+2 > 0
+x-1 > 0
+La expresión es positiva.
+Buscábamos los intervalos en los que la expresión fuese negativa. Por tanto, la solución es
+x < -2
+o
+< x < 2.
+Como la desigualdad es estricta, los ceros -2 y 2 no se incluyen.
+El valor 1 tampoco puede incluirse, pero por una razón diferente: no pertenece al dominio de la función.
+Incluso si la desigualdad fuese
+(x^2-4)/(x-1) <= 0,
+podríamos incluir x=-2 y x=2, pero nunca x=1.
+==== Procedimiento general para el análisis de signos por intervalos ====
+Los ejemplos anteriores sugieren un procedimiento general, cuando podemos localizar los ceros y las discontinuidades relevantes.
+Dada una desigualdad,
+f(x) < g(x),
+podemos proceder de la siguiente manera:
+Llevar todas las expresiones a un mismo lado:
+f(x)-g(x) < 0.
+Factorizar la expresión cuando sea posible.
+Encontrar sus ceros.
+Encontrar los valores que estén excluidos del dominio.
+Utilizar estos puntos para dividir el dominio en intervalos.
+Determinar el signo de la expresión en cada intervalo.
+Escoger los intervalos cuyo signo satisface la desigualdad original.
+Comprobar los extremos. Los ceros se incluyen en desigualdades no estrictas, como <= o >=, pero se excluyen en desigualdades estrictas, como < o >. Los puntos que no pertenecen al dominio se excluyen siempre.
+===== Por qué funciona el análisis de signos =====
+En los ejemplos anteriores hemos dividido la recta en intervalos determinados por los ceros de una función y por los puntos en los que deja de estar definida.
+Hay una razón matemática para que este procedimiento funcione.
+Una función continua no puede pasar de un valor negativo a uno positivo sin pasar por 0.
+Supongamos que f es continua en el intervalo comprendido entre a y b y que
+f(a) < 0
+mientras que
+f(b) > 0.
+El valor 0 se encuentra entre f(a) y f(b).
+El [[teoremas:valor_intermedio|teorema del valor intermedio]] nos asegura entonces que existe algún c entre a y b tal que
+%%f(c)=0.%%
+Por tanto, si una función es continua en un intervalo y no tiene ningún cero en él, no puede cambiar de signo dentro de ese intervalo.
+Esta propiedad justifica que, una vez encontrados todos los ceros y discontinuidades relevantes, podamos determinar el signo de la función separadamente en los intervalos resultantes.
+Para una explicación completa, véase [[conceptos:continuidad|Continuidad]] y [[teoremas:valor_intermedio|Teorema del valor intermedio]].
+==== Comprobar el signo mediante un punto ====
+La continuidad permite simplificar el análisis.
+Si sabemos que una función es continua y no tiene ningún cero dentro de un intervalo, sabemos que mantiene el mismo signo en todo ese intervalo.
+Por tanto, basta evaluar la función en un solo punto del intervalo para conocer su signo en todos sus puntos.
+Por ejemplo, para estudiar el signo de
+f(x)=(x-3)(x+2)
+en el intervalo
+-2 < x < 3,
+podemos escoger un punto sencillo, como
+x=0.
+Entonces,
+f(0)=(-3)*2=-6 < 0.
+Como f es continua y no tiene ningún cero entre -2 y 3, sabemos que es negativa en todo ese intervalo.
+Este método puede resultar más cómodo que analizar por separado el signo de cada factor.
+==== Cuando no podemos factorizar ====
+La factorización es una herramienta útil para encontrar ceros, pero el análisis de signos no depende de que podamos factorizar una expresión.
+Consideremos
+x^2+1 < 0.
+Sabemos que
+x^2 >= 0
+para todo número real x.
+Por tanto,
+x^2+1 >= 1 > 0.
+La desigualdad no tiene ninguna solución real.
+También podemos interpretar el resultado mediante continuidad.
+La función
+f(x)=x^2+1
+es continua en toda la recta real y no tiene ningún cero real.
+Por tanto, no puede cambiar de signo.
+Como, por ejemplo,
+f(0)=1 > 0,
+sabemos que
+f(x)>0
+para todo número real x.
+En este ejemplo, utilizar directamente que x^2 >= 0 es mucho más sencillo. Un método general no tiene por qué ser el método más conveniente para cada problema.
+==== Límites del método ======
+El análisis de signos es especialmente sencillo para polinomios y funciones racionales porque sus ceros y exclusiones del dominio permiten dividir la recta en un número manejable de intervalos.
+Otras funciones pueden requerir información adicional.
+Por ejemplo:
+Las funciones exponenciales y logarítmicas suelen estudiarse utilizando su dominio y monotonía.
+Las funciones trigonométricas requieren tener en cuenta su periodicidad y sus signos en distintos intervalos.
+Algunas funciones pueden tener infinitos ceros.
+En otros casos puede ser difícil o imposible encontrar exactamente todos los ceros.
+Por tanto, el análisis de signos no sustituye al estudio de las propiedades particulares de cada tipo de función. Proporciona un marco general en el que utilizar esas propiedades.
 ===== Cotas =====