Mates sin ojos

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====== Desigualdades ======

===== Motivación =====

Una igualdad afirma que dos cantidades tienen el mismo valor. Por ejemplo,

x = 3

afirma que x tiene exactamente el valor 3.

Sin embargo, muchas veces no necesitamos conocer una cantidad exactamente. Puede bastarnos con saber que es mayor o menor que otra, o que se encuentra entre determinados valores.

Por ejemplo,

x < 3

afirma que x es menor que 3, mientras que

2 <= x <= 3

afirma que x se encuentra entre 2 y 3, incluidos ambos extremos.

Las expresiones de este tipo se llaman desigualdades.

Las desigualdades aparecen constantemente en matemáticas. Son especialmente importantes cuando queremos establecer cotas: aunque no podamos calcular exactamente una cantidad, podemos demostrar que no supera cierto valor o que no puede ser menor que otro.

Esta idea será fundamental posteriormente para estudiar límites, continuidad, series, aproximaciones y muchos otros conceptos.

===== El orden de los números reales =====

Los números reales están ordenados.

Dados dos números reales a y b, podemos comparar sus valores.

Utilizamos las siguientes expresiones:

  * a < b: a es menor que b.
  * a > b: a es mayor que b.
  * a <= b: a es menor o igual que b.
  * a >= b: a es mayor o igual que b.

Por ejemplo,

2 < 5

5 > 2

2 <= 2

2 <= 5

5 >= 2

son todas afirmaciones verdaderas.

En cambio,

5 < 2

es falsa.

Dados dos números reales r1, r2, se dice que existe una tricotomía:

r1 < r2, o r1 > r2, o r1 = r2.

**Nota constructiva**: la tricotomía se puede predicar de los números reales clásicos, pero no es constructivamente válida en general para una representación constructiva arbitraria de los reales.

También es importante conocer la forma de negar una desigualdad (muy útil para negar un predicado lógico que la contenga).

no(a<b)=a>=b

no(a<=b)=a>b

no(a>b)=a<=b

no(a>=b)=a<b

En algunos casos, la tricotomía se puede utilizar para forzar una igualdad.
Si puedes probar que:

  * a <= b
  * a >= b

has probado que no(a>b) y no(a<b). Dada la tricotonía, exactamente una de las tres posibilidades debe ser cierta, por tanto, a=b.

**Nota constructiva:** en matemática clásica podemos decidir entre
x < 0, x = 0 y x > 0 mediante la tricotomía. Esta propiedad no es
constructivamente válida para los números reales en general. Cuando una
demostración utilice esta separación de casos, lo indicaremos.
===== Propiedades fundamentales =====

==== Transitividad ====

Si

a < b

y

b < c

entonces

a < c.

Por ejemplo, si

2 < 5

y

5 < 8

entonces

2 < 8.

La transitividad es una consecuencia de la propiedad de orden total de los reales.

Esta propiedad permite formar cadenas de desigualdades.

Por ejemplo,

2 < x < 5

significa simultáneamente

2 < x

y

x < 5.

==== Compatibilidad con la suma ====

Podemos sumar el mismo número a ambos lados de una desigualdad sin cambiar su sentido.

Si

a < b

entonces, para cualquier número real c,

a + c < b + c.

Por ejemplo,

3 < 7

y, sumando 5 a ambos lados,

3 + 5 < 7 + 5

por lo que

8 < 12.

Esto también permite restar la misma cantidad de ambos lados, ya que restar c equivale a sumar -c.

Por ejemplo,

x + 3 < 7

equivale a

x < 4.

==== Multiplicación por un número positivo ====

Si multiplicamos ambos lados de una desigualdad por un número positivo, su sentido no cambia.

Si

a < b

y

c > 0

entonces

a*c < b*c.

Por ejemplo,

2 < 5

y, multiplicando ambos lados por 3,

6 < 15.

==== Multiplicación por un número negativo ====

Si multiplicamos ambos lados por un número negativo, el sentido de la desigualdad se invierte.

Si

a < b

y

c < 0

entonces

ac > bc.

Por ejemplo,

2 < 5.

Multiplicando ambos lados por -1 obtenemos

-2 > -5.

Esta regla es una consecuencia del orden de los números reales, no una convención arbitraria.

Veamos primero qué ocurre al multiplicar por -1.

Tenemos la desigualdad

a < b

y queremos averiguar qué ocurre cuando multiplicamos ambos lados por -1.

Por tanto, queremos encontrar una relación entre

-a

y

-b.

Sabemos que podemos restar la misma cantidad de ambos lados sin alterar el
sentido de una desigualdad. Busquemos entonces qué cantidad tendríamos que
restar a a para obtener -b.

Llamemos x a esa cantidad. Queremos que

a-x = -b.

Despejando x,

x = a+b.

Comprobamos qué ocurre al restar esa misma cantidad de b:

b-(a+b) = -a.

Por tanto, al restar a+b de ambos lados de

a < b

obtenemos

a-(a+b) < b-(a+b),

y simplificando,

-b < -a.

Esto equivale a

-a > -b.

Como -a=(-1)*a y -b=(-1)*b, hemos demostrado que multiplicar ambos lados
de una desigualdad por -1 invierte su sentido.

Podemos obtener ahora el resultado para cualquier número negativo c.

Si

c < 0,

entonces

-c > 0.

Como -c es positivo, podemos multiplicar

a < b

por -c sin cambiar el sentido de la desigualdad:

a(-c) < b(-c).

Multiplicando ahora ambos lados por -1, el sentido se invierte:

ac > bc.

Por tanto, multiplicar ambos lados de una desigualdad por cualquier número negativo invierte su sentido.
==== División ====

Dividir ambos lados de una desigualdad por un número no nulo equivale a multiplicarlos por su inverso.

Por tanto:

  * si dividimos por un número positivo, el sentido de la desigualdad no cambia;
  * si dividimos por un número negativo, el sentido de la desigualdad se invierte.

Por ejemplo,

6*x < 18

implica

x < 3.

En cambio,

-6*x < 18

implica

x > -3.

No podemos dividir por 0, la operación está indefinida.

===== Referencia rápida =====

Si a < b:

  * a + c < b + c, para cualquier c.
  * a - c < b - c, para cualquier c.
  * a*c < b*c, si c > 0.
  * a*c > b*c, si c < 0.
  * a/c < b/c, si c > 0.
  * a/c > b/c, si c < 0.

Antes de multiplicar o dividir una desigualdad por una cantidad cuyo valor no conocemos, debemos determinar si esa cantidad es positiva, negativa o cero.

===== Resolver desigualdades =====

Resolver una desigualdad significa determinar qué valores de una variable hacen verdadera la desigualdad.

Por ejemplo, consideremos

2*x + 3 < 9.

Restamos 3 de ambos lados:

2*x < 6.

Dividimos ambos lados por 2. Como 2 es positivo, el sentido de la desigualdad no cambia:

x < 3.

Por tanto, cualquier número real menor que 3 satisface la desigualdad original.

==== Ejemplo con un factor negativo ====

Consideremos

-2*x + 3 < 9.

Restamos 3:

-2*x < 6.

Dividimos por -2.

Como -2 es negativo, debemos invertir el sentido de la desigualdad:

x > -3.

Podemos comprobar el resultado escogiendo algunos valores.

Si x = 0,

-2*0 + 3 = 3 < 9,

por lo que 0 satisface la desigualdad.

Como

0 > -3,

esto concuerda con nuestra solución.

==== Resolución cuando desconocemos el signo de x ====

Considera la siguiente desigualdad:

-2 < x < 4

Imagina que necesitamos conocer el rango de valores de x^2.

En este caso, no podemos simplemente multiplicar por x, porque x podría ser positivo o negativo.

Para ello tendremos que dividir el problema en tres (tricotomía), aunque uno de los casos es trivial, si x=0, x^2=0.

Tomamos por tanto la desigualdad y la dividimos en el punto 0:

-2 < x < 4
implica
-2 < x < 0 o 0 < x < 4 o x=0.

En el primer caso, x es una cantidad negativa:

-2 < x < 0

0x=0 < x*x=x^2 < -2x

Como teníamos:

-2 < x < 0

multiplicamos por -2.

0 < -2x < 4

Por transitividad,

0x=0 < x*x=x^2 < -2x

0 < x^2 < -2x < 4

Por tanto en la parte negativa, x^2 está entre 0 y 4.

La parte positiva la podemos resolver más fácilmente:

0 < x < 4

Multiplicamos por x, que es positivo:

0 < x^2 < 4x

Y para obtener 4x:

0 < x < 4 por 4:

0 < 4x < 16

Por tanto, por transitividad:

0 < x^2 < 4x < 16.

Ahora tenemos dos posibles intervalos para x^2, dependiendo del signo de x. También tenemos el valor de x^2 cuando x es 0. El resultado viene de unirlos todos.

x^2 = 0 o 0 < x^2 < 4 o 0 < x^2 < 16

implica

0 <= x^2 < 16

Fíjate que, como x^2 puede ser 0, la desigualdad entre x^2 y cero no es estricta (<). Es un error común no prestar atención a los extremos de una desigualdad.
===== Cotas =====

Una cota es un valor que sabemos que una cantidad no puede sobrepasar en determinada dirección.

Si sabemos que

x <= 10,

decimos que 10 es una cota superior de x.

Si sabemos que

x >= -3,

decimos que -3 es una cota inferior de x.

Una cantidad puede tener muchas cotas.

Por ejemplo, si

x <= 5,

entonces 5 es una cota superior, pero también lo son 6, 10 y 100.

En análisis matemático es frecuente que no necesitemos conocer exactamente una cantidad. Basta con encontrar una cota que resulte suficientemente buena para nuestro propósito.

===== Obtener estimaciones =====

Una de las aplicaciones más importantes de las desigualdades consiste en sustituir cantidades difíciles de calcular por otras que podemos controlar.

Supongamos que sabemos

0 <= x <= 2

y queremos encontrar una cota para

x^2.

Como x es no negativo, podemos multiplicar

x <= 2

por x sin invertir la desigualdad:

x^2 <= 2x.

Además, como

x <= 2,

podemos multiplicar esta desigualdad por 2:

2x <= 4.

Por transitividad,

x^2 <= 4.

Por tanto,

0 <= x^2 <= 4.

No hemos calculado x. Sin embargo, hemos obtenido información útil sobre x^2.

Este procedimiento de buscar cantidades mayores o menores que una expresión aparece constantemente en análisis.

===== Precaución con cantidades de signo desconocido =====

No podemos multiplicar o dividir una desigualdad por una expresión sin tener en cuenta su signo.

Supongamos que

a < b

y queremos multiplicar ambos lados por x.

Si x > 0, obtenemos

a*x < b*x.

Si x < 0, obtenemos

a*x > b*x.

Si x = 0, obtenemos

a*x = b*x = 0.

Por tanto, si no conocemos el signo de x, no podemos escoger simplemente uno de los dos sentidos de la desigualdad.

Este es un origen frecuente de errores.

===== Desigualdades y valor absoluto =====

El valor absoluto permite expresar desigualdades relacionadas con distancias.

Por ejemplo,

%%|x| < 3%%

significa que la distancia entre x y 0 es menor que 3.

Esto equivale a decir

-3 < x < 3.

Más generalmente, si eps > 0,

%%|x - a| < eps%%

equivale a

a - eps < x < a + eps.

Esta equivalencia es especialmente importante para estudiar límites.

Desde un enfoque geométrico o topológico, decimos que x se encuentra dentro
de una bola abierta de centro a y radio eps. Es decir, eps establece una
cota estricta para la distancia entre x y a:

%%|x-a| < eps%%

En la recta real, esto equivale a decir que x pertenece al intervalo abierto

(a-eps,a+eps)

Una propiedad importante del valor absoluto de la diferencia es su simetría:

%%|a-b| = |b-a|%%

Esto resulta natural si interpretamos el valor absoluto de la diferencia
como una distancia.

Si a se encuentra a distancia 2 de b, entonces b también se encuentra a
distancia 2 de a.

Podemos demostrarlo algebraicamente observando que

a-b = -(b-a)

y que un número y su opuesto tienen el mismo valor absoluto:

%%|x| = |-x|%%

Por tanto,

%%|a-b| = |-(b-a)| = |b-a|%%.

El valor absoluto y sus propiedades se estudian con más detalle en [[conceptos:valor_absoluto|Valor absoluto]].

===== Errores frecuentes =====

==== Olvidar invertir la desigualdad ====

De

-2x < 6

no se obtiene

x < -3.

Como hemos dividido por -2, debemos invertir la desigualdad:

x > -3.

==== Multiplicar por una cantidad de signo desconocido ====

De

a < b

no podemos concluir, sin conocer el signo de x, que

ax < bx.

El resultado depende del signo de x.

==== Confundir desigualdad estricta y no estricta ====

Las expresiones

x < 3

y

x <= 3

no significan lo mismo.

En la primera, x = 3 está excluido.

En la segunda, x = 3 está incluido.

Esta diferencia puede ser importante. Por ejemplo, en la definición habitual de límite exigimos

%%|a_n - L| < eps%%

y no simplemente

%%|a_n - L| <= eps.%%

===== Ejercicios =====

==== Ejercicio 1 ====

Resuelve:

3x + 2 < 11.

==== Ejercicio 2 ====

Resuelve:

-4x + 1 <= 9.

==== Ejercicio 3 ====

Supón que

2 <= x <= 5.

Demuestra que

4 <= 2x <= 10.

==== Ejercicio 4 ====

Supón que

0 <= x <= 3.

Encuentra una cota superior para x^2.

==== Ejercicio 5 ====

Explica por qué de

a < b

no podemos deducir

ax < bx

si no conocemos el signo de x.

===== Soluciones =====

==== Solución del ejercicio 1 ====

Partimos de

3x + 2 < 11.

Restamos 2:

3x < 9.

Dividimos por 3. Como 3 es positivo, mantenemos el sentido de la desigualdad:

x < 3.

==== Solución del ejercicio 2 ====

Partimos de

-4x + 1 <= 9.

Restamos 1:

-4x <= 8.

Dividimos por -4. Como es negativo, invertimos el sentido de la desigualdad:

x >= -2.

==== Solución del ejercicio 3 ====

Sabemos que

2 <= x <= 5.

Multiplicamos toda la cadena por 2.

Como 2 es positivo, mantenemos el sentido de las desigualdades:

4 <= 2x <= 10.

==== Solución del ejercicio 4 ====

Sabemos

0 <= x <= 3.

Como x >= 0, podemos multiplicar

x <= 3

por x:

x^2 <= 3x.

También podemos multiplicar

x <= 3

por 3:

3x <= 9.

Por transitividad,

x^2 <= 9.

Por tanto, 9 es una cota superior para x^2.

==== Solución del ejercicio 5 ====

El resultado depende del signo de x.

Si x es positivo, se conserva el sentido de la desigualdad.

Si x es negativo, se invierte.

Si x es cero, ambos productos son iguales a cero.

Por tanto, sin conocer el signo de x no podemos determinar qué relación existe entre ax y bx.

===== Notación =====

  * a < b: a es estrictamente menor que b.
  * a > b: a es estrictamente mayor que b.
  * a <= b: a es menor o igual que b.
  * a >= b: a es mayor o igual que b.
  * |x|: valor absoluto de x. En DokuWiki puede ser necesario escapar esta expresión para evitar que se interprete como una tabla.