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--- conceptos:funciones [2026/09/21 18:57] – [Biyectividad] modulus
+++ conceptos:funciones [2026/09/22 07:02] (actual) – [Funciones crecientes y decrecientes] modulus
@@ Línea 408: / Línea 408: @@
 g(f(x))
-El motivo para utilizar el orden alfabético interno en la definición y los ejemplos, es que la función f se aplica primero, porque hay que aplicar f(x) antes de poder aplicar g(f(x)).
+El motivo para utilizar el orden alfabético inverso en la definición y los ejemplos, es que la función f se aplica primero, porque hay que aplicar f(x) antes de poder aplicar g(f(x)).
 Por ejemplo, sean
@@ Línea 599: / Línea 599: @@
 f(a_1)=f(a_2) -> a_1=a_2.
-Equivalentemente, por contraposición,
+En particular, de esta definición se deduce constructivamente por contraposición,
+pt a_2, a_2 en A:
 a_1 != a_2 -> f(a_1) != f(a_2).
+En matemática clásica ambos enunciados son equivalentes.
 Por ejemplo,
@@ Línea 696: / Línea 699: @@
 ===== Función inversa =====
+Sea
+f:A -> B.
+Desde el punto de vista conjuntista, podemos intentar invertir la función intercambiando las componentes de sus pares ordenados.
 Si
-f:A -> B
+f(a)=b,
-es biyectiva, podemos invertir la correspondencia.
+queremos que
-Existe entonces una función
+f^-1(b)=a.
+Sin embargo, aunque f sea una función, invertir sus pares no garantiza que obtengamos otra función.
+Recordemos que una función debe satisfacer dos condiciones:
+  * existencia o totalidad: todo elemento del dominio debe tener una imagen;
+  * unicidad: cada elemento del dominio debe tener una única imagen.
+Veamos qué condiciones debe satisfacer f para que su relación inversa cumpla estos dos requisitos.
+==== Sobreyectividad y totalidad de la inversa ====
+Para que
 f^-1:B -> A
+sea una función, debe estar definida para todo elemento de B.
+Es decir, para cada
+b en B
+debe existir algún
+a en A
 tal que
-f^-1(f(a))=a
+f^-1(b)=a.
-para todo a en A
+Por la definición de la relación inversa, esto equivale a exigir
-y
+f(a)=b.
-f(f^-1(b))=b
+Por tanto, necesitamos
-para todo b en B.
+pt b en B:
+exi a en A:
+f(a)=b.
-La función f^-1 recibe el nombre de función inversa de f.
+Pero ésta es exactamente la definición de sobreyectividad de f.
-En términos de composición,
+Así, la sobreyectividad de f garantiza la condición de existencia o totalidad de f^-1.
-f^-1 comp f = id_A
+Si existe algún elemento b del codominio que no es imagen de ningún elemento de A, la relación inversa no está definida en b, por lo que no es total sobre B.
+Por tanto,
+f sobreyectiva <-> f^-1 es total sobre B.
+==== Inyectividad y unicidad de la inversa ====
+También necesitamos que f^-1 asigne a cada elemento de B un único elemento de A.
+Supongamos que
+f(a_1)=b
 y
-f comp f^-1 = id_B.
+f(a_2)=b.
-==== Por qué necesitamos inyectividad ====
+Al invertir estas relaciones obtendríamos
-Si f no es inyectiva, un mismo elemento de B puede proceder de varios elementos de A.
+f^-1(b)=a_1
-Por ejemplo, para
+y
-f:R -> R
+f^-1(b)=a_2.
-f(x)=x^2,
+Para que f^-1 sea una función, la unicidad exige
-tenemos
+a_1=a_2.
-f(2)=f(-2)=4.
+Por tanto, necesitamos que
-Si intentáramos definir f^-1(4), no sabríamos si debe valer 2 o -2.
+f(a_1)=f(a_2) -> a_1=a_2.
+Pero ésta es exactamente la definición de inyectividad de f.
+Así, la inyectividad de f garantiza la condición de unicidad de f^-1.
+Si f no es inyectiva, algún elemento de B es imagen de dos elementos distintos de A. Al invertir la relación, ese elemento tendría dos imágenes distintas y la relación inversa no sería una función.
+Por tanto,
+f inyectiva <-> f^-1 satisface la unicidad.
+==== Biyectividad e inversa ====
+Para que la relación inversa de
+f:A -> B
+sea una función
+f^-1:B -> A,
+necesitamos simultáneamente:
+  * que f sea sobreyectiva, para garantizar la totalidad de f^-1;
+  * que f sea inyectiva, para garantizar la unicidad de f^-1.
+Una función que satisface ambas propiedades es biyectiva.
+Por tanto, f tiene una función inversa de B en A si y sólo si f es biyectiva.
+Cuando f es biyectiva, escribimos
+f^-1:B -> A.
+Para todo a en A,
+f^-1(f(a))=a,
+y para todo b en B,
+f(f^-1(b))=b.
+En términos de composición,
+f^-1 comp f = id_A
+y
+f comp f^-1 = id_B.
-Por tanto, no podríamos obtener una función inversa.
+Es decir, la composición de una función y su inversa, en cualquier orden, resulta en la función identidad.
-==== Por qué necesitamos sobreyectividad ====
+Esta correspondencia puede resumirse así:
-Si f no es sobreyectiva, existen elementos del codominio que no son imagen de ningún elemento del dominio.
+  * inyectividad de f <-> unicidad para f^-1;
+  * sobreyectividad de f <-> totalidad para f^-1;
+  * biyectividad de f <-> f^-1 es una función de B en A.
-Para ellos no podríamos definir f^-1.
-Por tanto, la biyectividad es exactamente la combinación necesaria para invertir una función entre su dominio y su codominio.
 ===== Funciones reales =====
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 f:A -> R,
-donde A es un subconjunto ordenado de R.
+donde A es un subconjunto de R.
-Decimos que f es creciente si
+Decimos que f es creciente((En algunos textos, en lugar de funciones crecientes con este significado, se habla de funciones no decrecientes.)) si
 pt x,y en A:
 x <= y -> f(x) <= f(y).
-Decimos que es estrictamente creciente si
+Decimos que es estrictamente creciente((Al igual que en la nota anterior, en algunos textos estas funciones se denominan crecientes, en los casos en los que se utiliza la terminología de no decrecientes.)) si
 pt x,y en A:
@@ Línea 853: / Línea 948: @@
 pt x en A: m <= f(x) <= M.
-Equivalentemente, f está acotada si su imagen es un subconjunto acotado de R.
+Equivalentemente, una función real f está acotada si existe M >= 0 tal que
+pt x en A:
+%%|f(x)|%% <= M.
+También podemos decir que f está acotada si su imagen es un subconjunto acotado de R.
 ===== Perspectiva conjuntista y otras fundamentaciones =====
@@ Línea 865: / Línea 965: @@
 En teoría de tipos, por ejemplo, una función de A en B puede tratarse directamente como un objeto de tipo
-A -> B.
+A -> B
-Desde esa perspectiva no es necesario definir primero la función como un conjunto de pares ordenados.
+donde A y B son tipos. Desde esta perspectiva, una función no necesita definirse previamente como una relación ni como un conjunto de pares ordenados.
+Aunque la notación se parece a la utilizada en este artículo para funciones entre conjuntos, A y B desempeñan aquí el papel de tipos, no de conjuntos.
 Ambas perspectivas permiten estudiar muchas de las mismas propiedades estructurales, pero parten de fundamentos diferentes.
@@ Línea 937: / Línea 1039: @@
 B = {1,4}.
+==== Ejercicio 5 ====
+Sean
+f:A -> B
+y
+g:B -> C.
+Supongamos que
+A = {1,2,3}
+B = {a,b,c}
+C = {0,1},
+y que las funciones están definidas por
+f(1)=a
+f(2)=b
+f(3)=c
+y
+g(a)=0
+g(b)=1
+%%g(c)=0.%%
+Calcula
+g comp f.
+==== Ejercicio 6 ====
+Considera la función
+f:R -> R
+definida por
+f(x)=2x+1.
+Determina si es inyectiva y sobreyectiva.
+Si es biyectiva, encuentra su función inversa.
+==== Ejercicio 7 ====
+Considera
+f:R -> R
+definida por
+f(x)=x^2.
+Determina si es:
+  * inyectiva;
+  * sobreyectiva;
+  * biyectiva.
+Considera después la función
+g:{x en R : x >= 0} -> {y en R : y >= 0}
+definida mediante
+g(x)=x^2.
+Determina de nuevo si es inyectiva, sobreyectiva y biyectiva.
+==== Ejercicio 8 ====
+Sea
+f:R -> R
+definida por
+f(x)=3x-2.
+Demuestra que f es estrictamente creciente.
+==== Ejercicio 9 ====
+Sea
+f:R -> R
+definida por
+f(x)=1/(1+x^2).
+Demuestra que f está acotada y encuentra una cota superior y una cota inferior.
+===== Soluciones =====
+==== Solución del ejercicio 1 ====
+Tenemos
+R_1 = {(1,a),(2,a),(3,b)}.
+Cada elemento de A aparece como primera componente exactamente una vez.
+Por tanto, R_1 satisface existencia y unicidad y representa una función de A en B.
+Para
+R_2 = {(1,a),(1,b),(2,a),(3,b)},
+el elemento 1 está relacionado tanto con a como con b.
+Por tanto, no se cumple la unicidad y R_2 no representa una función.
+Finalmente,
+R_3 = {(1,a),(2,b)}
+no contiene ningún par cuya primera componente sea 3.
+Por tanto, no se cumple la condición de existencia para todos los elementos de A y R_3 no representa una función.
+==== Solución del ejercicio 2 ====
+La función es
+f(x)=x^2+1.
+Por tanto,
+f(0)=0^2+1=1,
+f(2)=2^2+1=5
+y
+f(-3)=(-3)^2+1=10.
+Para todo número real x,
+x^2 >= 0.
+Por tanto,
+x^2+1 >= 1.
+Así, 0 no pertenece a la imagen de f.
+==== Solución del ejercicio 3 ====
+Tenemos
+f(x)=x^2
+y
+A = {-3,-1,0,2}.
+Calculamos:
+f(-3)=9
+f(-1)=1
+f(0)=0
+f(2)=4.
+Por tanto,
+f(A) = {0,1,4,9}.
+==== Solución del ejercicio 4 ====
+Queremos calcular la preimagen de
+B = {1,4}
+mediante
+f(x)=x^2.
+Buscamos los números reales x tales que
+x^2 en {1,4}.
+Si
+x^2=1,
+entonces
+x=-1
+o
+x=1.
+Si
+x^2=4,
+entonces
+x=-2
+o
+x=2.
+Por tanto,
+f^-1(B) = {-2,-1,1,2}.
+Obsérvese que hemos calculado una preimagen de un conjunto. No estamos afirmando que f tenga una función inversa.
+==== Solución del ejercicio 5 ====
+Queremos calcular
+g comp f:A -> C.
+Recordemos que
+%%(g comp f)(x)=g(f(x)).%%
+Para 1,
+%%(g comp f)(1)=%%\\
+%%g(f(1))=%%\\
+g(a)=
+.
+Para 2,
+%%(g comp f)(2)=%%\\
+%%g(f(2))=%%\\
+%%g(b)=%%\\
+.
+Para 3,
+%%(g comp f)(3)=%%\\
+%%g(f(3))=%%\\
+%%g(c)=%%\\
+.
+Por tanto,
+g comp f
+puede representarse mediante
+{(1,0),(2,1),(3,0)}.
+==== Solución del ejercicio 6 ====
+Tenemos
+f(x)=2x+1.
+Primero comprobamos la inyectividad.
+Supongamos
+f(a)=f(b).
+Entonces
+a+1=2b+1.
+Restando 1,
+a=2b.
+Dividiendo por 2,
+a=b.
+Por tanto, f es inyectiva.
+Comprobemos ahora la sobreyectividad.
+Sea
+y en R
+un valor cualquiera del codominio.
+Queremos encontrar un x tal que
+f(x)=y.
+Tenemos
+x+1=y.
+Despejando x,
+x=(y-1)/2.
+Este valor es real para cualquier y real.
+Por tanto, para todo y en R existe un x en R tal que
+f(x)=y.
+Así, f es sobreyectiva.
+Como es inyectiva y sobreyectiva, es biyectiva y tiene función inversa.
+De
+y=2x+1
+obtenemos
+x=(y-1)/2.
+Por tanto,
+f^-1:R -> R
+está definida por
+f^-1(x)=(x-1)/2.
+Podemos comprobarlo:
+f^-1(f(x))=\\
+%%((2x+1)-1)/2=%%\\
+x
+y
+%%f(f^-1(x))=%%\\
+%%2*((x-1)/2)+1=%%\\
+x.
+==== Solución del ejercicio 7 ====
+Consideremos primero
+f:R -> R
+con
+f(x)=x^2.
+No es inyectiva porque, por ejemplo,
+f(-1)=f(1)=1
+aunque
+-1 != 1.
+Tampoco es sobreyectiva sobre R, porque ningún número real negativo es el cuadrado de un número real.
+Por tanto, f no es biyectiva.
+Consideremos ahora
+g:{x en R : x >= 0} -> {y en R : y >= 0}
+con
+g(x)=x^2.
+Esta función es inyectiva.
+Si
+<= a < b,
+entonces
+a^2 < b^2.
+Por tanto, dos números no negativos distintos no pueden tener el mismo cuadrado.
+También es sobreyectiva.
+Para cualquier
+y >= 0,
+existe un número real no negativo sqrt(y) tal que
+sqrt(y)^2=y.
+Por tanto, todo elemento del codominio tiene una preimagen.
+Así, g es biyectiva.
+Su inversa es la función raíz cuadrada:
+g^-1(y)=sqrt(y).
+==== Solución del ejercicio 8 ====
+Queremos demostrar que
+f(x)=3x-2
+es estrictamente creciente.
+Sean
+x_1 < x_2.
+Multiplicamos por 3. Como 3 es positivo, se conserva el sentido de la desigualdad:
+x_1 < 3x_2.
+Restamos 2 de ambos lados:
+x_1-2 < 3x_2-2.
+Por tanto,
+f(x_1) < f(x_2).
+Así, f es estrictamente creciente.
+==== Solución del ejercicio 9 ====
+Tenemos
+f(x)=1/(1+x^2).
+Para todo x real,
+x^2 >= 0.
+Por tanto,
++x^2 >= 1.
+Como el denominador es siempre positivo,
+< 1/(1+x^2) <= 1.
+Así,
+< f(x) <= 1
+para todo x en R.
+Por tanto, f está acotada.
+Por ejemplo, podemos tomar como cota inferior 0 y como cota superior 1:
+<= f(x) <= 1.
+También podemos expresarlo mediante valor absoluto. Como f(x)>0,
+%%|f(x)| = f(x) <= 1%%.
+===== Véase también =====
+  * [[conceptos:conjuntos|Conjuntos]]
+  * [[conceptos:relaciones|Relaciones]]
+  * [[conceptos:desigualdades|Desigualdades]]
+  * [[conceptos:valor_absoluto|Valor absoluto]]
+  * [[conceptos:sucesiones|Sucesiones]]
+  * [[conceptos:limites|Límites]]
+===== Notación =====
+  * f:A -> B: f es una función con dominio A y codominio B.
+  * f(x): imagen de x mediante f.
+  * x -> f(x): regla que asigna a x el valor f(x).
+  * dom(f): dominio de f.
+  * im(f): imagen de f.
+  * f(C): imagen del conjunto C mediante f.
+  * f^-1(D): preimagen del conjunto D mediante f.
+  * g comp f: composición de f seguida de g; (g comp f)(x)=g(f(x)).
+  * id_A: función identidad sobre A.
+  * f|C: restricción de f al subconjunto C de su dominio.
+  * f^-1: función inversa de f, cuando existe.