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conceptos:funciones

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conceptos:funciones [2026/09/21 19:07] – [Por qué necesitamos sobreyectividad] modulusconceptos:funciones [2026/09/22 07:02] (actual) – [Funciones crecientes y decrecientes] modulus
Línea 408: Línea 408:
 g(f(x)) g(f(x))
  
-El motivo para utilizar el orden alfabético interno en la definición y los ejemplos, es que la función f se aplica primero, porque hay que aplicar f(x) antes de poder aplicar g(f(x)).+El motivo para utilizar el orden alfabético inverso en la definición y los ejemplos, es que la función f se aplica primero, porque hay que aplicar f(x) antes de poder aplicar g(f(x)).
  
 Por ejemplo, sean Por ejemplo, sean
Línea 599: Línea 599:
 f(a_1)=f(a_2) -> a_1=a_2. f(a_1)=f(a_2) -> a_1=a_2.
  
-Equivalentemente, por contraposición,+En particular, de esta definición se deduce constructivamente por contraposición,
  
 +pt a_2, a_2 en A:
 a_1 != a_2 -> f(a_1) != f(a_2). a_1 != a_2 -> f(a_1) != f(a_2).
 +
 +En matemática clásica ambos enunciados son equivalentes.
  
 Por ejemplo, Por ejemplo,
Línea 754: Línea 757:
 Así, la sobreyectividad de f garantiza la condición de existencia o totalidad de f^-1. Así, la sobreyectividad de f garantiza la condición de existencia o totalidad de f^-1.
  
-Si f no es sobreyectiva, existe algún elemento b del codominio que no es imagen de ningún elemento de A. En ese caso no existe ningún valor que podamos asignar a f^-1(b).+Si existe algún elemento b del codominio que no es imagen de ningún elemento de A, la relación inversa no está definida en b, por lo que no es total sobre B.
  
 Por tanto, Por tanto,
Línea 901: Línea 904:
 f:A -> R, f:A -> R,
  
-donde A es un subconjunto ordenado de R.+donde A es un subconjunto de R.
  
-Decimos que f es creciente si+Decimos que f es creciente((En algunos textos, en lugar de funciones crecientes con este significado, se habla de funciones no decrecientes.)) si
  
 pt x,y en A: pt x,y en A:
 x <= y -> f(x) <= f(y). x <= y -> f(x) <= f(y).
  
-Decimos que es estrictamente creciente si+Decimos que es estrictamente creciente((Al igual que en la nota anterior, en algunos textos estas funciones se denominan crecientes, en los casos en los que se utiliza la terminología de no decrecientes.)) si
  
 pt x,y en A: pt x,y en A:
Línea 945: Línea 948:
 pt x en A: m <= f(x) <= M. pt x en A: m <= f(x) <= M.
  
-Equivalentemente, f está acotada si su imagen es un subconjunto acotado de R.+Equivalentemente, una función real f está acotada si existe M >= 0 tal que 
 + 
 +pt x en A: 
 +%%|f(x)|%% <= M. 
 + 
 +También podemos decir que f está acotada si su imagen es un subconjunto acotado de R.
  
 ===== Perspectiva conjuntista y otras fundamentaciones ===== ===== Perspectiva conjuntista y otras fundamentaciones =====
Línea 957: Línea 965:
 En teoría de tipos, por ejemplo, una función de A en B puede tratarse directamente como un objeto de tipo En teoría de tipos, por ejemplo, una función de A en B puede tratarse directamente como un objeto de tipo
  
-A -> B.+A -> B 
 + 
 +donde A y B son tipos. Desde esta perspectiva, una función no necesita definirse previamente como una relación ni como un conjunto de pares ordenados.
  
-Desde esa perspectiva no es necesario definir primero la función como un conjunto de pares ordenados.+Aunque la notación se parece a la utilizada en este artículo para funciones entre conjuntos, A y B desempeñan aquí el papel de tipos, no de conjuntos.
  
 Ambas perspectivas permiten estudiar muchas de las mismas propiedades estructurales, pero parten de fundamentos diferentes. Ambas perspectivas permiten estudiar muchas de las mismas propiedades estructurales, pero parten de fundamentos diferentes.
Línea 1029: Línea 1039:
 B = {1,4}. B = {1,4}.
  
 +==== Ejercicio 5 ====
 +
 +Sean
 +
 +f:A -> B
 +
 +y
 +
 +g:B -> C.
 +
 +Supongamos que
 +
 +A = {1,2,3}
 +
 +B = {a,b,c}
 +
 +C = {0,1},
 +
 +y que las funciones están definidas por
 +
 +f(1)=a
 +
 +f(2)=b
 +
 +f(3)=c
 +
 +y
 +
 +g(a)=0
 +
 +g(b)=1
 +
 +%%g(c)=0.%%
 +
 +Calcula
 +
 +g comp f.
 +
 +==== Ejercicio 6 ====
 +
 +Considera la función
 +
 +f:R -> R
 +
 +definida por
 +
 +f(x)=2x+1.
 +
 +Determina si es inyectiva y sobreyectiva.
 +
 +Si es biyectiva, encuentra su función inversa.
 +
 +==== Ejercicio 7 ====
 +
 +Considera
 +
 +f:R -> R
 +
 +definida por
 +
 +f(x)=x^2.
 +
 +Determina si es:
 +
 +  * inyectiva;
 +  * sobreyectiva;
 +  * biyectiva.
 +
 +Considera después la función
 +
 +g:{x en R : x >= 0} -> {y en R : y >= 0}
 +
 +definida mediante
 +
 +g(x)=x^2.
 +
 +Determina de nuevo si es inyectiva, sobreyectiva y biyectiva.
 +
 +==== Ejercicio 8 ====
 +
 +Sea
 +
 +f:R -> R
 +
 +definida por
 +
 +f(x)=3x-2.
 +
 +Demuestra que f es estrictamente creciente.
 +
 +==== Ejercicio 9 ====
 +
 +Sea
 +
 +f:R -> R
 +
 +definida por
 +
 +f(x)=1/(1+x^2).
 +
 +Demuestra que f está acotada y encuentra una cota superior y una cota inferior.
 +
 +===== Soluciones =====
 +
 +==== Solución del ejercicio 1 ====
 +
 +Tenemos
 +
 +R_1 = {(1,a),(2,a),(3,b)}.
 +
 +Cada elemento de A aparece como primera componente exactamente una vez.
 +
 +Por tanto, R_1 satisface existencia y unicidad y representa una función de A en B.
 +
 +Para
 +
 +R_2 = {(1,a),(1,b),(2,a),(3,b)},
 +
 +el elemento 1 está relacionado tanto con a como con b.
 +
 +Por tanto, no se cumple la unicidad y R_2 no representa una función.
 +
 +Finalmente,
 +
 +R_3 = {(1,a),(2,b)}
 +
 +no contiene ningún par cuya primera componente sea 3.
 +
 +Por tanto, no se cumple la condición de existencia para todos los elementos de A y R_3 no representa una función.
 +
 +==== Solución del ejercicio 2 ====
 +
 +La función es
 +
 +f(x)=x^2+1.
 +
 +Por tanto,
 +
 +f(0)=0^2+1=1,
 +
 +f(2)=2^2+1=5
 +
 +y
 +
 +f(-3)=(-3)^2+1=10.
 +
 +Para todo número real x,
 +
 +x^2 >= 0.
 +
 +Por tanto,
 +
 +x^2+1 >= 1.
 +
 +Así, 0 no pertenece a la imagen de f.
 +
 +==== Solución del ejercicio 3 ====
 +
 +Tenemos
 +
 +f(x)=x^2
 +
 +y
 +
 +A = {-3,-1,0,2}.
 +
 +Calculamos:
 +
 +f(-3)=9
 +
 +f(-1)=1
 +
 +f(0)=0
 +
 +f(2)=4.
 +
 +Por tanto,
 +
 +f(A) = {0,1,4,9}.
 +
 +==== Solución del ejercicio 4 ====
 +
 +Queremos calcular la preimagen de
 +
 +B = {1,4}
 +
 +mediante
 +
 +f(x)=x^2.
 +
 +Buscamos los números reales x tales que
 +
 +x^2 en {1,4}.
 +
 +Si
 +
 +x^2=1,
 +
 +entonces
 +
 +x=-1
 +
 +o
 +
 +x=1.
 +
 +Si
 +
 +x^2=4,
 +
 +entonces
 +
 +x=-2
 +
 +o
 +
 +x=2.
 +
 +Por tanto,
 +
 +f^-1(B) = {-2,-1,1,2}.
 +
 +Obsérvese que hemos calculado una preimagen de un conjunto. No estamos afirmando que f tenga una función inversa.
 +
 +==== Solución del ejercicio 5 ====
 +
 +Queremos calcular
 +
 +g comp f:A -> C.
 +
 +Recordemos que
 +
 +%%(g comp f)(x)=g(f(x)).%%
 +
 +Para 1,
 +
 +%%(g comp f)(1)=%%\\
 +%%g(f(1))=%%\\
 +g(a)=
 +0.
 +
 +Para 2,
 +
 +%%(g comp f)(2)=%%\\
 +%%g(f(2))=%%\\
 +%%g(b)=%%\\
 +1.
 +
 +Para 3,
 +
 +%%(g comp f)(3)=%%\\
 +%%g(f(3))=%%\\
 +%%g(c)=%%\\
 +0.
 +
 +Por tanto,
 +
 +g comp f
 +
 +puede representarse mediante
 +
 +{(1,0),(2,1),(3,0)}.
 +
 +==== Solución del ejercicio 6 ====
 +
 +Tenemos
 +
 +f(x)=2x+1.
 +
 +Primero comprobamos la inyectividad.
 +
 +Supongamos
 +
 +f(a)=f(b).
 +
 +Entonces
 +
 +2a+1=2b+1.
 +
 +Restando 1,
 +
 +2a=2b.
 +
 +Dividiendo por 2,
 +
 +a=b.
 +
 +Por tanto, f es inyectiva.
 +
 +Comprobemos ahora la sobreyectividad.
 +
 +Sea
 +
 +y en R
 +
 +un valor cualquiera del codominio.
 +
 +Queremos encontrar un x tal que
 +
 +f(x)=y.
 +
 +Tenemos
 +
 +2x+1=y.
 +
 +Despejando x,
 +
 +x=(y-1)/2.
 +
 +Este valor es real para cualquier y real.
 +
 +Por tanto, para todo y en R existe un x en R tal que
 +
 +f(x)=y.
 +
 +Así, f es sobreyectiva.
 +
 +Como es inyectiva y sobreyectiva, es biyectiva y tiene función inversa.
 +
 +De
 +
 +y=2x+1
 +
 +obtenemos
 +
 +x=(y-1)/2.
 +
 +Por tanto,
 +
 +f^-1:R -> R
 +
 +está definida por
 +
 +f^-1(x)=(x-1)/2.
 +
 +Podemos comprobarlo:
 +
 +f^-1(f(x))=\\
 +%%((2x+1)-1)/2=%%\\
 +x
 +
 +y
 +
 +%%f(f^-1(x))=%%\\
 +%%2*((x-1)/2)+1=%%\\
 +x.
 +
 +==== Solución del ejercicio 7 ====
 +
 +Consideremos primero
 +
 +f:R -> R
 +
 +con
 +
 +f(x)=x^2.
 +
 +No es inyectiva porque, por ejemplo,
 +
 +f(-1)=f(1)=1
 +
 +aunque
 +
 +-1 != 1.
 +
 +Tampoco es sobreyectiva sobre R, porque ningún número real negativo es el cuadrado de un número real.
 +
 +Por tanto, f no es biyectiva.
 +
 +Consideremos ahora
 +
 +g:{x en R : x >= 0} -> {y en R : y >= 0}
 +
 +con
 +
 +g(x)=x^2.
 +
 +Esta función es inyectiva.
 +
 +Si
 +
 +0 <= a < b,
 +
 +entonces
 +
 +a^2 < b^2.
 +
 +Por tanto, dos números no negativos distintos no pueden tener el mismo cuadrado.
 +
 +También es sobreyectiva.
 +
 +Para cualquier
 +
 +y >= 0,
 +
 +existe un número real no negativo sqrt(y) tal que
 +
 +sqrt(y)^2=y.
 +
 +Por tanto, todo elemento del codominio tiene una preimagen.
 +
 +Así, g es biyectiva.
 +
 +Su inversa es la función raíz cuadrada:
 +
 +g^-1(y)=sqrt(y).
 +
 +==== Solución del ejercicio 8 ====
 +
 +Queremos demostrar que
 +
 +f(x)=3x-2
 +
 +es estrictamente creciente.
 +
 +Sean
 +
 +x_1 < x_2.
 +
 +Multiplicamos por 3. Como 3 es positivo, se conserva el sentido de la desigualdad:
 +
 +3x_1 < 3x_2.
 +
 +Restamos 2 de ambos lados:
 +
 +3x_1-2 < 3x_2-2.
 +
 +Por tanto,
 +
 +f(x_1) < f(x_2).
 +
 +Así, f es estrictamente creciente.
 +
 +==== Solución del ejercicio 9 ====
 +
 +Tenemos
 +
 +f(x)=1/(1+x^2).
 +
 +Para todo x real,
 +
 +x^2 >= 0.
 +
 +Por tanto,
 +
 +1+x^2 >= 1.
 +
 +Como el denominador es siempre positivo,
 +
 +0 < 1/(1+x^2) <= 1.
 +
 +Así,
 +
 +0 < f(x) <= 1
 +
 +para todo x en R.
 +
 +Por tanto, f está acotada.
 +
 +Por ejemplo, podemos tomar como cota inferior 0 y como cota superior 1:
 +
 +0 <= f(x) <= 1.
 +
 +También podemos expresarlo mediante valor absoluto. Como f(x)>0,
 +
 +%%|f(x)| = f(x) <= 1%%.
 +
 +===== Véase también =====
 +
 +  * [[conceptos:conjuntos|Conjuntos]]
 +  * [[conceptos:relaciones|Relaciones]]
 +  * [[conceptos:desigualdades|Desigualdades]]
 +  * [[conceptos:valor_absoluto|Valor absoluto]]
 +  * [[conceptos:sucesiones|Sucesiones]]
 +  * [[conceptos:limites|Límites]]
 +
 +===== Notación =====
 +
 +  * f:A -> B: f es una función con dominio A y codominio B.
 +  * f(x): imagen de x mediante f.
 +  * x -> f(x): regla que asigna a x el valor f(x).
 +  * dom(f): dominio de f.
 +  * im(f): imagen de f.
 +  * f(C): imagen del conjunto C mediante f.
 +  * f^-1(D): preimagen del conjunto D mediante f.
 +  * g comp f: composición de f seguida de g; (g comp f)(x)=g(f(x)).
 +  * id_A: función identidad sobre A.
 +  * f|C: restricción de f al subconjunto C de su dominio.
 +  * f^-1: función inversa de f, cuando existe.
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