En Relaciones vimos que una relación entre dos conjuntos A y B puede relacionar cada elemento de A con ninguno, uno o varios elementos de B.

Una función es un caso especial en el que exigimos que cada elemento del conjunto de partida esté relacionado con exactamente un elemento del conjunto de llegada.

Por ejemplo, podemos asociar a cada número real su cuadrado:

x -> x^2.

El número 2 queda asociado con 4:

2 -> 4.

También

-2 -> 4.

Cada número real tiene exactamente un cuadrado, aunque distintos números pueden tener el mismo cuadrado.

Las funciones permiten describir dependencias entre cantidades y transformaciones entre objetos. Aparecen en prácticamente todas las áreas de las matemáticas.

Las sucesiones son funciones cuyo dominio son los números naturales. Las aplicaciones lineales, los homomorfismos y muchas otras estructuras son también tipos particulares de funciones.

Sean A y B dos conjuntos.

Desde el enfoque conjuntista utilizado en este artículo, una función

f:A -> B

puede representarse mediante una relación entre A y B que satisface dos condiciones: existencia y unicidad.

Todo elemento de A debe estar relacionado con algún elemento de B:

pt a en A: exi b en B: (a,b) en f.

Por tanto, una función de A en B no puede dejar ningún elemento de A sin resultado.

Cada elemento de A debe estar relacionado con un único elemento de B.

Formalmente,

pt a en A, b,c en B: (a,b) en f y (a,c) en f -> b=c.

Por tanto, un mismo elemento a no puede estar relacionado mediante f con dos elementos distintos de B.

Las dos condiciones juntas pueden expresarse diciendo:

Para cada a en A existe exactamente un b en B tal que (a,b) en f.

Cuando estas condiciones se cumplen, escribimos

f(a)=b

para indicar que b es el único elemento asociado con a.

Toda función puede representarse como una relación, pero no toda relación representa una función.

Por ejemplo, sean

A = {1,2,3}

y

B = {a,b}.

La relación

R = {(1,a),(2,b),(3,a)}

representa una función de A en B.

Cada elemento de A aparece exactamente una vez como primera componente.

En cambio,

S = {(1,a),(1,b),(2,a),(3,b)}

no representa una función de A en B porque 1 está relacionado con dos elementos distintos:

1 S a

y

1 S b.

La relación

T = {(1,a),(2,b)}

tampoco representa una función de A en B porque el elemento 3 no está relacionado con ningún elemento de B.

S incumple la condición de unicidad.

T incumple la condición de existencia.

Si escribimos

f:A -> B,

A recibe el nombre de dominio de f y B recibe el nombre de codominio.

Para cada

a en A,

el valor

f(a)

recibe el nombre de imagen de a mediante f.

El conjunto de todos los valores que la función alcanza recibe el nombre de imagen de la función.

Podemos escribir

im(f) = {b en B : exi a en A: f(a)=b}.

Siempre se cumple

im(f) sub B.

Sin embargo, no tiene por qué cumplirse

im(f)=B.

Por ejemplo, consideremos

f:R -> R

definida mediante

f(x)=x^2.

Su dominio es R.

Su codominio también es R.

Pero ningún número real negativo es el cuadrado de un número real.

Por tanto,

im(f) = {y en R : y >= 0}.

Es importante distinguir entre codominio e imagen.

El codominio forma parte de la especificación de la función.

La imagen contiene únicamente los valores que la función alcanza realmente.

Si representamos una función únicamente mediante su conjunto de pares ordenados, podemos recuperar los elementos del dominio que aparecen como primeras componentes y los valores alcanzados como segundas componentes.

Sin embargo, el conjunto de pares no permite recuperar por sí solo los elementos del codominio que nunca son alcanzados.

Por ejemplo, las expresiones

f:R -> R

f(x)=x^2

y

g:R -> {y en R : y >= 0}

g(x)=x^2

tienen la misma regla de asignación y pueden representarse mediante el mismo conjunto de pares

{(x,x^2) : x en R}.

Sin embargo, tienen codominios diferentes.

En este artículo consideraremos que el dominio y el codominio forman parte de los datos que especifican una función.

Por tanto, no identificaremos una función únicamente con su conjunto de pares ordenados.

La expresión

f:A -> B

indica que f es una función con dominio A y codominio B.

Si

a en A,

escribimos

f(a)

para representar la imagen de a.

También podemos describir la regla de asignación mediante

a -> f(a).

Por ejemplo,

f:R -> R

x -> x^2

describe la función que asigna a cada número real su cuadrado.

También podemos escribir

f(x)=x^2.

Estas expresiones deben distinguirse.

f:A -> B

especifica dominio y codominio.

x -> x^2

describe la asignación.

f(x)=x^2

indica el valor de la función para un argumento genérico x.

Evaluar una función en un elemento significa determinar la imagen de ese elemento.

Si

f(x)=x^2+1,

entonces

f(2)=2^2+1=5

y

f(-3)=(-3)^2+1=10.

El símbolo x utilizado en la definición no constituye un valor fijo. Representa un elemento genérico del dominio.

Dos funciones son iguales cuando tienen los mismos datos relevantes y asignan los mismos valores a todos los elementos de su dominio.

Si

f:A -> B

y

g:A -> B,

entonces

f=g

si

pt x en A: f(x)=g(x).

En este artículo exigiremos además que dos funciones iguales tengan el mismo dominio y codominio.

Por ejemplo,

f:R -> R

f(x)=(x+1)^2

y

g:R -> R

g(x)=x^2+2x+1

son la misma función porque

pt x en R: (x+1)^2=x^2+2x+1.

La forma de la expresión utilizada para describir una función no determina por sí sola la función.

Hasta ahora hemos hablado de la imagen de un elemento.

También podemos aplicar una función a todos los elementos de un subconjunto de su dominio.

Sea

f:A -> B

y sea

C sub A.

La imagen de C mediante f es

f(C) = {f(x) : x en C}.

Equivalentemente,

f(C) = {y en B : exi x en C: f(x)=y}.

Por ejemplo, si

f:R -> R

f(x)=x^2

y

C = {-2,-1,0,1,2},

entonces

f(C) = {0,1,4}.

Obsérvese que la repetición de valores no produce elementos repetidos en un conjunto.

Sea

f:A -> B

y sea

D sub B.

La preimagen de D mediante f es el conjunto de los elementos del dominio cuya imagen pertenece a D:

f^-1(D) = {x en A : f(x) en D}.

Por ejemplo, si

f:R -> R

f(x)=x^2

y

D = {4},

entonces

f^-1(D) = {-2,2}.

Si

D = {y en R : y < 4},

entonces

f^-1(D) = {x en R : -2 < x < 2}.

La notación

f^-1(D)

no significa aquí que exista una función inversa f^-1.

La preimagen de un conjunto está definida para cualquier función.

Esta distinción será especialmente importante al estudiar continuidad y topología.

Supongamos que tenemos

f:A -> B

y

g:B -> C.

Podemos aplicar primero f y después g.

La función resultante se denomina composición de g con f y escribiremos

g comp f:A -> C.

Se define mediante

(g comp f)(x)=g(f(x)).

Nótese que el orden de lectura es el mismo en ambas formas:

g comp f

y

g(f(x))

El motivo para utilizar el orden alfabético interno en la definición y los ejemplos, es que la función f se aplica primero, porque hay que aplicar f(x) antes de poder aplicar g(f(x)).

Por ejemplo, sean

f:R -> R

f(x)=x+1

y

g:R -> R

g(x)=x^2.

Entonces

(g comp f)(x)=g(x+1)=(x+1)^2.

En cambio,

(f comp g)(x)=f(x^2)=x^2+1.

Por tanto, en general,

g comp f != f comp g.

La composición de funciones no es conmutativa.

La composición de funciones es asociativa.

Esto significa que, al componer tres funciones, podemos cambiar la forma de agrupar las composiciones sin cambiar la función resultante.

Supongamos que tenemos

f:A -> B

g:B -> C

h:C -> D.

Podemos representar el recorrido de los valores de la siguiente manera:

A ->f B ->g C ->h D.

Si empezamos con un elemento

x en A,

primero podemos aplicar f:

f(x) en B.

Después podemos aplicar g:

g(f(x)) en C.

Finalmente podemos aplicar h:

h(g(f(x))) en D.

Podemos construir esta función de A en D agrupando las composiciones de dos maneras diferentes.

En primer lugar, podemos componer f y g:

g comp f:A -> C

y después componer el resultado con h:

h comp (g comp f):A -> D.

También podemos componer primero g y h:

h comp g:B -> D

y después componer el resultado con f:

(h comp g) comp f:A -> D.

Veamos que ambas construcciones producen la misma función.

Para cualquier x en A,

(h comp (g comp f))(x)=
h((g comp f)(x))=
h(g(f(x))).

Por otra parte,

((h comp g) comp f)(x)=
(h comp g)(f(x))=
h(g(f(x))).

Ambas funciones tienen el mismo dominio A, el mismo codominio D y producen el mismo valor para todo x en A.

Por tanto,

h comp (g comp f) = (h comp g) comp f.

Es importante observar que la asociatividad no permite cambiar el orden en que se aplican las funciones.

En ambos lados seguimos aplicando, en este orden,

f, después g, después h.

La asociatividad sólo afirma que podemos agrupar estas composiciones de cualquiera de las dos formas sin cambiar el resultado.

Por esta razón, cuando componemos varias funciones podemos escribir

h comp g comp f

sin indicar mediante paréntesis cómo se agrupan las composiciones.

Para cualquier conjunto A podemos definir la función identidad

id_A:A -> A

mediante

id_A(x)=x.

La función identidad deja cada elemento sin modificar.

Se comporta como elemento neutro de la composición.

Si

f:A -> B,

entonces

f comp id_A = f

y

id_B comp f = f.

Supongamos que

f:A -> B

y que

C sub A.

Podemos considerar la misma regla de asignación solamente para los elementos de C.

Obtenemos así la restricción de f a C.

La escribiremos

f|C:C -> B.

Para todo x en C,

(f|C)(x)=f(x).

Por ejemplo, la función

f:R -> R

f(x)=x^2

no es inyectiva en R.

Sin embargo, si restringimos su dominio a los números reales no negativos,

f|{x en R : x >= 0},

obtenemos una función inyectiva.

Las propiedades de una función pueden, por tanto, cambiar al restringir su dominio.

Una función

f:A -> B

es inyectiva cuando dos elementos distintos del dominio nunca tienen la misma imagen.

Formalmente,

pt a_1,a_2 en A: f(a_1)=f(a_2) -> a_1=a_2.

Equivalentemente, por contraposición,

a_1 != a_2 -> f(a_1) != f(a_2).

Por ejemplo,

f:R -> R

f(x)=2x

es inyectiva.

Si

f(a)=f(b),

entonces

2a=2b

y, dividiendo por 2,

a=b.

En cambio,

f:R -> R

f(x)=x^2

no es inyectiva porque, por ejemplo,

f(2)=4

y

f(-2)=4,

aunque

2 != -2.

Una función

f:A -> B

es sobreyectiva cuando todo elemento del codominio es imagen de algún elemento del dominio.

Formalmente,

pt b en B: exi a en A: f(a)=b.

Esto equivale a decir

im(f)=B.

Por ejemplo,

f:R -> R

f(x)=x^2

no es sobreyectiva porque ningún número negativo pertenece a su imagen.

Sin embargo,

g:R -> {y en R : y >= 0}

g(x)=x^2

sí es sobreyectiva.

La regla de asignación es la misma, pero el codominio es diferente.

Esto muestra por qué el codominio resulta relevante al estudiar sobreyectividad.

Una función es biyectiva cuando es simultáneamente inyectiva y sobreyectiva.

Por tanto, si

f:A -> B

es biyectiva:

• cada elemento de A tiene exactamente una imagen en B;
• cada elemento de B es imagen de algún elemento de A;
• ningún elemento de B es imagen de dos elementos distintos de A.

En consecuencia, cada elemento de B corresponde exactamente a un elemento de A.

Sea

f:A -> B.

Desde el punto de vista conjuntista, podemos intentar invertir la función intercambiando las componentes de sus pares ordenados.

Si

f(a)=b,

queremos que

f^-1(b)=a.

Sin embargo, aunque f sea una función, invertir sus pares no garantiza que obtengamos otra función.

Recordemos que una función debe satisfacer dos condiciones:

• existencia o totalidad: todo elemento del dominio debe tener una imagen;
• unicidad: cada elemento del dominio debe tener una única imagen.

Veamos qué condiciones debe satisfacer f para que su relación inversa cumpla estos dos requisitos.

Para que

f^-1:B -> A

sea una función, debe estar definida para todo elemento de B.

Es decir, para cada

b en B

debe existir algún

a en A

tal que

f^-1(b)=a.

Por la definición de la relación inversa, esto equivale a exigir

f(a)=b.

Por tanto, necesitamos

pt b en B: exi a en A: f(a)=b.

Pero ésta es exactamente la definición de sobreyectividad de f.

Así, la sobreyectividad de f garantiza la condición de existencia o totalidad de f^-1.

Si f no es sobreyectiva, existe algún elemento b del codominio que no es imagen de ningún elemento de A. En ese caso no existe ningún valor que podamos asignar a f^-1(b).

Por tanto,

f sobreyectiva <-> f^-1 es total sobre B.

También necesitamos que f^-1 asigne a cada elemento de B un único elemento de A.

Supongamos que

f(a_1)=b

y

f(a_2)=b.

Al invertir estas relaciones obtendríamos

f^-1(b)=a_1

y

f^-1(b)=a_2.

Para que f^-1 sea una función, la unicidad exige

a_1=a_2.

Por tanto, necesitamos que

f(a_1)=f(a_2) -> a_1=a_2.

Pero ésta es exactamente la definición de inyectividad de f.

Así, la inyectividad de f garantiza la condición de unicidad de f^-1.

Si f no es inyectiva, algún elemento de B es imagen de dos elementos distintos de A. Al invertir la relación, ese elemento tendría dos imágenes distintas y la relación inversa no sería una función.

Por tanto,

f inyectiva <-> f^-1 satisface la unicidad.

Para que la relación inversa de

f:A -> B

sea una función

f^-1:B -> A,

necesitamos simultáneamente:

• que f sea sobreyectiva, para garantizar la totalidad de f^-1;
• que f sea inyectiva, para garantizar la unicidad de f^-1.

Una función que satisface ambas propiedades es biyectiva.

Por tanto, f tiene una función inversa de B en A si y sólo si f es biyectiva.

Cuando f es biyectiva, escribimos

f^-1:B -> A.

Para todo a en A,

f^-1(f(a))=a,

y para todo b en B,

f(f^-1(b))=b.

En términos de composición,

f^-1 comp f = id_A

y

f comp f^-1 = id_B.

Es decir, la composición de una función y su inversa, en cualquier orden, resulta en la función identidad.

Esta correspondencia puede resumirse así:

• inyectividad de f <-> unicidad para f^-1;
• sobreyectividad de f <-> totalidad para f^-1;
• biyectividad de f <-> f^-1 es una función de B en A.

Un caso especialmente importante es el de las funciones entre conjuntos de números reales.

Por ejemplo,

f:R -> R.

En este contexto aparecen algunas propiedades que utilizaremos frecuentemente.

Un cero de una función f es un elemento x de su dominio tal que

f(x)=0.

Por ejemplo, los ceros de

f(x)=x^2-4

son

x=-2

y

x=2.

Los ceros son especialmente importantes al estudiar el signo de una función y resolver ecuaciones y desigualdades.

Podemos estudiar para qué valores del dominio una función es positiva, negativa o cero:

f(x)>0

f(x)<0

f(x)=0.

Resolver una desigualdad como

f(x)<0

consiste precisamente en determinar el subconjunto del dominio en el que f toma valores negativos.

Este procedimiento se estudia con más detalle en Desigualdades.

Sea

f:A -> R,

donde A es un subconjunto ordenado de R.

Decimos que f es creciente si

pt x,y en A: x <= y -> f(x) <= f(y).

Decimos que es estrictamente creciente si

pt x,y en A: x < y -> f(x) < f(y).

Decimos que f es decreciente si

pt x,y en A: x <= y -> f(x) >= f(y).

Y es estrictamente decreciente si

pt x,y en A: x < y -> f(x) > f(y).

Las funciones crecientes o decrecientes reciben conjuntamente el nombre de funciones monótonas.

La monotonía permite trasladar información de orden entre los argumentos y sus imágenes.

Sea

f:A -> R.

Decimos que f está acotada superiormente si existe un número real M tal que

pt x en A: f(x) <= M.

Está acotada inferiormente si existe un número real m tal que

pt x en A: m <= f(x).

Está acotada si existen m y M tales que

pt x en A: m <= f(x) <= M.

Equivalentemente, una función real f está acotada si existe M >= 0 tal que

pt x en A: |f(x)| <= M.

También podemos decir que f está acotada si su imagen es un subconjunto acotado de R.

Este artículo ha utilizado una presentación conjuntista clásica.

Una función puede representarse mediante una relación que satisface existencia y unicidad, junto con la especificación de su dominio y codominio.

Ésta no es la única forma posible de fundamentar el concepto.

En teoría de tipos, por ejemplo, una función de A en B puede tratarse directamente como un objeto de tipo

A -> B

Donde A y B son tipos. Desde esta perspectiva, una función no necesita definirse previamente como una relación ni como un conjunto de pares ordenados.

Aunque la notación se parece a la utilizada en este artículo para funciones entre conjuntos, A y B desempeñan aquí el papel de tipos, no de conjuntos.

Ambas perspectivas permiten estudiar muchas de las mismas propiedades estructurales, pero parten de fundamentos diferentes.

Sean

A = {1,2,3}

y

B = {a,b}.

Determina cuáles de las siguientes relaciones representan funciones de A en B:

R_1 = {(1,a),(2,a),(3,b)}

R_2 = {(1,a),(1,b),(2,a),(3,b)}

R_3 = {(1,a),(2,b)}

Justifica cada respuesta utilizando las condiciones de existencia y unicidad.

Sea

f:R -> R

definida por

f(x)=x^2+1.

Calcula:

f(0)

f(2)

f(-3).

Determina también si 0 pertenece a im(f).

Sea

f:R -> R

definida mediante

f(x)=x^2.

Calcula la imagen del conjunto

A = {-3,-1,0,2}.

Para la misma función,

f(x)=x^2,

calcula la preimagen de

B = {1,4}.