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conceptos:teoria_de_conjuntos

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conceptos:teoria_de_conjuntos [2026/09/10 08:20] – creado modulusconceptos:teoria_de_conjuntos [2026/09/10 11:22] (actual) – [Los números naturales como conjuntos] modulus
Línea 91: Línea 91:
 Estos axiomas permiten: Estos axiomas permiten:
  
-* determinar cuándo dos conjuntos son iguales; +  * determinar cuándo dos conjuntos son iguales; 
-* construir ciertos conjuntos a partir de otros; +  * construir ciertos conjuntos a partir de otros; 
-* seleccionar elementos de conjuntos ya existentes; +  * seleccionar elementos de conjuntos ya existentes; 
-* construir conjuntos suficientemente grandes para desarrollar las matemáticas; +  * construir conjuntos suficientemente grandes para desarrollar las matemáticas; 
-* controlar determinadas formas problemáticas de pertenencia.+  * controlar determinadas formas problemáticas de pertenencia.
  
 Los axiomas no pretenden describir cómo escribir cómodamente conjuntos en la práctica cotidiana. Constituyen las reglas fundamentales de una teoría formal. Los axiomas no pretenden describir cómo escribir cómodamente conjuntos en la práctica cotidiana. Constituyen las reglas fundamentales de una teoría formal.
Línea 121: Línea 121:
 {3,2,1}, {3,2,1},
  
-{z en Z: n >= 1 y n <= 3},+{z en Z: z >= 1 y z <= 3},
  
 {n en N: n < 4 y n != 0} {n en N: n < 4 y n != 0}
Línea 138: Línea 138:
  
 pt x: x noen {}. pt x: x noen {}.
 +
 +La existencia del conjunto vacío puede derivarse de los axiomas de ZF; no es necesario tomarla como un axioma independiente.
  
 Por extensionalidad sólo puede existir un conjunto vacío: cualesquiera dos conjuntos sin elementos contienen exactamente los mismos elementos y son, por tanto, iguales. Por extensionalidad sólo puede existir un conjunto vacío: cualesquiera dos conjuntos sin elementos contienen exactamente los mismos elementos y son, por tanto, iguales.
Línea 153: Línea 155:
 {a}. {a}.
  
-Este axioma nos permite construir conjuntos finitos a partir de objetos que ya tenemos. +Mediante aplicaciones repetidas de emparejamiento y unión podemos construir conjuntos finitos a partir de objetos que ya tenemos.
 ===== Unión ===== ===== Unión =====
  
Línea 249: Línea 250:
 y una operación produce respectivamente y una operación produce respectivamente
  
-f(a), f(b), f(c),+f(a), f(b), %%f(c)%%,
  
 podemos formar podemos formar
  
-{f(a),f(b),f(c)}.+{f(a),f(b),%%f(c)%%}.
  
 El reemplazo resulta especialmente importante cuando realizamos construcciones sobre conjuntos grandes o definidas mediante procesos sucesivos. El reemplazo resulta especialmente importante cuando realizamos construcciones sobre conjuntos grandes o definidas mediante procesos sucesivos.
Línea 291: Línea 292:
 n = {0,1,...,n-1}. n = {0,1,...,n-1}.
  
-El axioma de infinito garantiza la existencia de un conjunto que contiene todos estos números.+El axioma de infinito garantiza la existencia de al menos un conjunto inductivo que contiene 0 y está cerrado bajo sucesor.
  
-A partir de él puede construirse el conjunto de los números naturales.+Utilizando los demás axiomas, podemos obtener el menor de estos conjuntos, que identificamos con N, los números naturales.
  
 ===== Fundación ===== ===== Fundación =====
Línea 311: Línea 312:
 y en x. y en x.
  
-De manera informal, la relación de pertenencia no puede descender circularmente para siempre.+De manera informal, la relación de pertenencia no admite ciclos ni descensos infinitos a través de conjuntos sucesivamente pertenecientes unos a otros.
  
 Una formulación del axioma afirma que todo conjunto no vacío A contiene algún elemento x que no tiene elementos en común con A: Una formulación del axioma afirma que todo conjunto no vacío A contiene algún elemento x que no tiene elementos en común con A:
Línea 349: Línea 350:
 De manera esquemática: De manera esquemática:
  
-* podemos obtener el conjunto vacío; +  * podemos obtener el conjunto vacío; 
-* podemos agrupar conjuntos ya existentes; +  * podemos agrupar conjuntos ya existentes; 
-* podemos tomar uniones; +  * podemos tomar uniones; 
-* podemos tomar conjuntos potencia; +  * podemos tomar conjuntos potencia; 
-* podemos seleccionar elementos de conjuntos existentes mediante separación; +  * podemos seleccionar elementos de conjuntos existentes mediante separación; 
-* podemos formar conjuntos de resultados mediante reemplazo; +  * podemos formar conjuntos de resultados mediante reemplazo; 
-* disponemos, mediante infinito, de un conjunto suficientemente grande para construir los números naturales.+  * disponemos, mediante infinito, de un conjunto suficientemente grande para construir los números naturales.
  
 Esta disciplina evita la comprensión irrestricta que produjo la paradoja de Russell. Esta disciplina evita la comprensión irrestricta que produjo la paradoja de Russell.
Línea 372: Línea 373:
  
 En etapas límite reunimos las etapas anteriores. En etapas límite reunimos las etapas anteriores.
 +
 +V_lambda = union_(beta < lambda) V_beta
  
 La colección de todas estas etapas constituye la llamada jerarquía acumulativa. La colección de todas estas etapas constituye la llamada jerarquía acumulativa.
Línea 377: Línea 380:
 Esta imagen explica varias características de ZF: Esta imagen explica varias características de ZF:
  
-* los elementos de un conjunto aparecen en niveles anteriores; +  * los elementos de un conjunto aparecen en niveles anteriores; 
-* no aparecen ciclos de pertenencia; +  * no aparecen ciclos de pertenencia; 
-* no existe un conjunto universal que contenga todos los conjuntos; +  * no existe un conjunto universal que contenga todos los conjuntos; 
-* cada nuevo nivel contiene muchos conjuntos construidos a partir de los anteriores.+  * cada nuevo nivel contiene muchos conjuntos construidos a partir de los anteriores.
  
 La construcción completa de la jerarquía acumulativa requiere ordinales y se estudiará posteriormente. Por ahora basta conservar la idea de que ZF concibe los conjuntos como organizados en niveles sucesivos. La construcción completa de la jerarquía acumulativa requiere ordinales y se estudiará posteriormente. Por ahora basta conservar la idea de que ZF concibe los conjuntos como organizados en niveles sucesivos.
Línea 402: Línea 405:
 1 = {{}} 1 = {{}}
  
-2 = {{},{{}}}+2 = %%{{},{{}}}%%
  
 aunque normalmente resulta mucho más legible utilizar los nombres de los números anteriores: aunque normalmente resulta mucho más legible utilizar los nombres de los números anteriores:
Línea 480: Línea 483:
 De esta forma podemos representar mediante conjuntos: De esta forma podemos representar mediante conjuntos:
  
-* números; +  * números; 
-* pares ordenados; +  * pares ordenados; 
-* productos cartesianos; +  * productos cartesianos; 
-* relaciones; +  * relaciones; 
-* funciones; +  * funciones; 
-* y muchas otras estructuras matemáticas.+  * y muchas otras estructuras matemáticas.
  
 Ésta es una de las razones históricas y prácticas por las que la teoría de conjuntos resulta tan útil como fundamento común de las matemáticas. Ésta es una de las razones históricas y prácticas por las que la teoría de conjuntos resulta tan útil como fundamento común de las matemáticas.
Línea 501: Línea 504:
 Por tanto, conviene distinguir dos afirmaciones: Por tanto, conviene distinguir dos afirmaciones:
  
-* ZFC permite codificar una gran parte de las matemáticas utilizando conjuntos. +  * ZFC permite codificar una gran parte de las matemáticas utilizando conjuntos. 
-* Toda entidad matemática es ontológicamente un conjunto.+  * Toda entidad matemática es ontológicamente un conjunto.
  
 La primera es una afirmación matemática sobre la capacidad expresiva de una fundamentación conjuntista. La primera es una afirmación matemática sobre la capacidad expresiva de una fundamentación conjuntista.
  
-La segunda es una posición filosófica adicional y no se sigue simplemente de la primera.+La segunda es una posición filosófica adicional y no sigue simplemente de la primera.
  
 ===== ZF y ZFC ===== ===== ZF y ZFC =====
Línea 512: Línea 515:
 Conviene mantener clara la terminología: Conviene mantener clara la terminología:
  
-* ZF es la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel. +  * ZF es la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel. 
-* ZFC es ZF más el axioma de elección.+  * ZFC es ZF más el axioma de elección.
  
 En la práctica matemática clásica, ZFC se utiliza frecuentemente como teoría fundacional de referencia. En la práctica matemática clásica, ZFC se utiliza frecuentemente como teoría fundacional de referencia.
Línea 535: Línea 538:
 ===== Véase también ===== ===== Véase también =====
  
-* [[conceptos:conjuntos|Conjuntos]] +  * [[conceptos:conjuntos|Conjuntos]] 
-* [[conceptos:relaciones|Relaciones]] +  * [[conceptos:relaciones|Relaciones]] 
-* [[conceptos:funciones|Funciones]] +  * [[conceptos:funciones|Funciones]] 
-* [[fundamentos:logica_clasica|Lógica clásica]] +  * [[fundamentos:logica_clasica|Lógica clásica]] 
-* [[fundamentos:constructivismo|Matemática constructiva]] +  * [[fundamentos:constructivismo|Matemática constructiva]] 
-* [[fundamentos:teoria_de_tipos|Teoría de tipos]]+  * [[fundamentos:teoria_de_tipos|Teoría de tipos]]
  
 ===== Notación ===== ===== Notación =====
  
-* x en A: x pertenece al conjunto A. +  * x en A: x pertenece al conjunto A. 
-* x noen A: x no pertenece al conjunto A. +  * x noen A: x no pertenece al conjunto A. 
-* A sub B: A es subconjunto de B. +  * A sub B: A es subconjunto de B. 
-* {}: conjunto vacío. +  * {}: conjunto vacío. 
-* {a,b}: conjunto cuyos elementos son a y b. +  * {a,b}: conjunto cuyos elementos son a y b. 
-* {x en A : P(x)}: conjunto formado mediante separación por los elementos de A que satisfacen P. +  * {x en A : P(x)}: conjunto formado mediante separación por los elementos de A que satisfacen P. 
-* P(A): conjunto potencia de A. +  * P(A): conjunto potencia de A. 
-* union A: unión de los conjuntos que pertenecen a A. +  * union A: unión de los conjuntos que pertenecen a A. 
-* A union B: unión binaria de A y B. +  * A union B: unión binaria de A y B. 
-* A inter B: intersección de A y B. +  * A inter B: intersección de A y B. 
-* (a,b): par ordenado. +  * (a,b): par ordenado. 
-* A x B: producto cartesiano de A y B. +  * A x B: producto cartesiano de A y B. 
-* f:A -> B: función f con dominio A y codominio B. +  * f:A -> B: función f con dominio A y codominio B. 
-* :=: se define como.+  * :=: se define como.
  
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