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conceptos:teoria_de_conjuntos

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conceptos:teoria_de_conjuntos [2026/09/10 11:02] – [Representar no significa identificar necesariamente] modulusconceptos:teoria_de_conjuntos [2026/09/10 11:33] (actual) – [Qué no hemos demostrado] modulus
Línea 121: Línea 121:
 {3,2,1}, {3,2,1},
  
-{z en Z: n >= 1 y n <= 3},+{z en Z: z >= 1 y z <= 3},
  
 {n en N: n < 4 y n != 0} {n en N: n < 4 y n != 0}
Línea 138: Línea 138:
  
 pt x: x noen {}. pt x: x noen {}.
 +
 +La existencia del conjunto vacío puede derivarse de los axiomas de ZF; no es necesario tomarla como un axioma independiente.
  
 Por extensionalidad sólo puede existir un conjunto vacío: cualesquiera dos conjuntos sin elementos contienen exactamente los mismos elementos y son, por tanto, iguales. Por extensionalidad sólo puede existir un conjunto vacío: cualesquiera dos conjuntos sin elementos contienen exactamente los mismos elementos y son, por tanto, iguales.
Línea 153: Línea 155:
 {a}. {a}.
  
-Este axioma nos permite construir conjuntos finitos a partir de objetos que ya tenemos. +Mediante aplicaciones repetidas de emparejamiento y unión podemos construir conjuntos finitos a partir de objetos que ya tenemos.
 ===== Unión ===== ===== Unión =====
  
Línea 169: Línea 170:
 Por ejemplo, si Por ejemplo, si
  
-A = {{1,2},{2,3}},+A = %%{{1,2},{2,3}},%%
  
 entonces entonces
Línea 199: Línea 200:
 Por ejemplo, Por ejemplo,
  
-P({a,b}) = {{},{a},{b},{a,b}}.+P({a,b}) = %%{{},{a},{b},{a,b}}.%%
  
 El axioma del conjunto potencia es importante porque permite construir conjuntos considerablemente mayores a partir de otros. El axioma del conjunto potencia es importante porque permite construir conjuntos considerablemente mayores a partir de otros.
Línea 249: Línea 250:
 y una operación produce respectivamente y una operación produce respectivamente
  
-f(a), f(b), f(c),+f(a), f(b), %%f(c)%%,
  
 podemos formar podemos formar
  
-{f(a),f(b),f(c)}.+{f(a),f(b),%%f(c)%%}.
  
 El reemplazo resulta especialmente importante cuando realizamos construcciones sobre conjuntos grandes o definidas mediante procesos sucesivos. El reemplazo resulta especialmente importante cuando realizamos construcciones sobre conjuntos grandes o definidas mediante procesos sucesivos.
Línea 291: Línea 292:
 n = {0,1,...,n-1}. n = {0,1,...,n-1}.
  
-El axioma de infinito garantiza la existencia de un conjunto que contiene todos estos números.+El axioma de infinito garantiza la existencia de al menos un conjunto inductivo que contiene 0 y está cerrado bajo sucesor.
  
-A partir de él puede construirse el conjunto de los números naturales.+Utilizando los demás axiomas, podemos obtener el menor de estos conjuntos, que identificamos con N, los números naturales.
  
 ===== Fundación ===== ===== Fundación =====
Línea 311: Línea 312:
 y en x. y en x.
  
-De manera informal, la relación de pertenencia no puede descender circularmente para siempre.+De manera informal, la relación de pertenencia no admite ciclos ni descensos infinitos a través de conjuntos sucesivamente pertenecientes unos a otros.
  
 Una formulación del axioma afirma que todo conjunto no vacío A contiene algún elemento x que no tiene elementos en común con A: Una formulación del axioma afirma que todo conjunto no vacío A contiene algún elemento x que no tiene elementos en común con A:
Línea 372: Línea 373:
  
 En etapas límite reunimos las etapas anteriores. En etapas límite reunimos las etapas anteriores.
 +
 +V_lambda = union_(beta < lambda) V_beta
  
 La colección de todas estas etapas constituye la llamada jerarquía acumulativa. La colección de todas estas etapas constituye la llamada jerarquía acumulativa.
Línea 400: Línea 403:
 0 = {} 0 = {}
  
-1 = {{}}+1 = %%{{}}%%
  
-2 = {{},{{}}}+2 = %%{{},{{}}}%%
  
 aunque normalmente resulta mucho más legible utilizar los nombres de los números anteriores: aunque normalmente resulta mucho más legible utilizar los nombres de los números anteriores:
Línea 440: Línea 443:
 Una codificación habitual es el par de Kuratowski: Una codificación habitual es el par de Kuratowski:
  
-(a,b) := {{a},{a,b}}.+(a,b) := %%{{a},{a,b}}.%%
  
 Esta construcción está diseñada para satisfacer la propiedad fundamental de los pares ordenados: Esta construcción está diseñada para satisfacer la propiedad fundamental de los pares ordenados:
Línea 477: Línea 480:
  
 (x,y) en f. (x,y) en f.
 +
 +Por tanto,
 +
 +f sub A x B.
  
 De esta forma podemos representar mediante conjuntos: De esta forma podemos representar mediante conjuntos:
Línea 512: Línea 519:
 Conviene mantener clara la terminología: Conviene mantener clara la terminología:
  
-* ZF es la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel. +  * ZF es la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel. 
-* ZFC es ZF más el axioma de elección.+  * ZFC es ZF más el axioma de elección.
  
 En la práctica matemática clásica, ZFC se utiliza frecuentemente como teoría fundacional de referencia. En la práctica matemática clásica, ZFC se utiliza frecuentemente como teoría fundacional de referencia.
Línea 527: Línea 534:
 Si ZFC fuera inconsistente, sería posible derivar una contradicción y, con ella, cualquier proposición expresable en la teoría. Si ZFC fuera inconsistente, sería posible derivar una contradicción y, con ella, cualquier proposición expresable en la teoría.
  
-Los resultados de incompletitud de Gödel imponen límites importantes a lo que una teoría suficientemente expresiva puede demostrar acerca de su propia consistencia, y son aplicables a ZFC, porque como hemos visto, ZFC puede representar los números naturales y sus funciones.+Los resultados de incompletitud de Gödel imponen límites importantes a lo que determinadas teorías pueden demostrar acerca de su propia consistencia, y son aplicables a ZFC porque es una teoría efectivamente axiomatizable y suficientemente expresiva para formalizar la aritmética. En particular, si ZFC es consistente, no puede demostrar mediante sus propios recursos una afirmación adecuada de su propia consistencia. Obviamente, esto no implica que ZFC sea inconsistente; establece una limitación sobre las formas en que podría demostrar su propia consistencia.
  
 Tampoco hemos demostrado que ZFC sea la única fundamentación posible ni que sea necesariamente la más adecuada para todos los propósitos. Tampoco hemos demostrado que ZFC sea la única fundamentación posible ni que sea necesariamente la más adecuada para todos los propósitos.
Línea 535: Línea 542:
 ===== Véase también ===== ===== Véase también =====
  
-* [[conceptos:conjuntos|Conjuntos]] +  * [[conceptos:conjuntos|Conjuntos]] 
-* [[conceptos:relaciones|Relaciones]] +  * [[conceptos:relaciones|Relaciones]] 
-* [[conceptos:funciones|Funciones]] +  * [[conceptos:funciones|Funciones]] 
-* [[fundamentos:logica_clasica|Lógica clásica]] +  * [[fundamentos:logica_clasica|Lógica clásica]] 
-* [[fundamentos:constructivismo|Matemática constructiva]] +  * [[fundamentos:constructivismo|Matemática constructiva]] 
-* [[fundamentos:teoria_de_tipos|Teoría de tipos]]+  * [[fundamentos:teoria_de_tipos|Teoría de tipos]]
  
 ===== Notación ===== ===== Notación =====
  
-* x en A: x pertenece al conjunto A. +  * x en A: x pertenece al conjunto A. 
-* x noen A: x no pertenece al conjunto A. +  * x noen A: x no pertenece al conjunto A. 
-* A sub B: A es subconjunto de B. +  * A sub B: A es subconjunto de B. 
-* {}: conjunto vacío. +  * {}: conjunto vacío. 
-* {a,b}: conjunto cuyos elementos son a y b. +  * {a,b}: conjunto cuyos elementos son a y b. 
-* {x en A : P(x)}: conjunto formado mediante separación por los elementos de A que satisfacen P. +  * {x en A : P(x)}: conjunto formado mediante separación por los elementos de A que satisfacen P. 
-* P(A): conjunto potencia de A. +  * P(A): conjunto potencia de A. 
-* union A: unión de los conjuntos que pertenecen a A. +  * union A: unión de los conjuntos que pertenecen a A. 
-* A union B: unión binaria de A y B. +  * A union B: unión binaria de A y B. 
-* A inter B: intersección de A y B. +  * A inter B: intersección de A y B. 
-* (a,b): par ordenado. +  * (a,b): par ordenado. 
-* A x B: producto cartesiano de A y B. +  * A x B: producto cartesiano de A y B. 
-* f:A -> B: función f con dominio A y codominio B. +  * f:A -> B: función f con dominio A y codominio B. 
-* :=: se define como.+  * :=: se define como.
  
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