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conceptos:teoria_de_conjuntos

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conceptos:teoria_de_conjuntos [2026/09/10 11:09] – [Conjunto vacío] modulusconceptos:teoria_de_conjuntos [2026/09/10 11:33] (actual) – [Qué no hemos demostrado] modulus
Línea 155: Línea 155:
 {a}. {a}.
  
-Este axioma nos permite construir conjuntos finitos a partir de objetos que ya tenemos. +Mediante aplicaciones repetidas de emparejamiento y unión podemos construir conjuntos finitos a partir de objetos que ya tenemos.
 ===== Unión ===== ===== Unión =====
  
Línea 171: Línea 170:
 Por ejemplo, si Por ejemplo, si
  
-A = {{1,2},{2,3}},+A = %%{{1,2},{2,3}},%%
  
 entonces entonces
Línea 201: Línea 200:
 Por ejemplo, Por ejemplo,
  
-P({a,b}) = {{},{a},{b},{a,b}}.+P({a,b}) = %%{{},{a},{b},{a,b}}.%%
  
 El axioma del conjunto potencia es importante porque permite construir conjuntos considerablemente mayores a partir de otros. El axioma del conjunto potencia es importante porque permite construir conjuntos considerablemente mayores a partir de otros.
Línea 251: Línea 250:
 y una operación produce respectivamente y una operación produce respectivamente
  
-f(a), f(b), f(c),+f(a), f(b), %%f(c)%%,
  
 podemos formar podemos formar
  
-{f(a),f(b),f(c)}.+{f(a),f(b),%%f(c)%%}.
  
 El reemplazo resulta especialmente importante cuando realizamos construcciones sobre conjuntos grandes o definidas mediante procesos sucesivos. El reemplazo resulta especialmente importante cuando realizamos construcciones sobre conjuntos grandes o definidas mediante procesos sucesivos.
Línea 293: Línea 292:
 n = {0,1,...,n-1}. n = {0,1,...,n-1}.
  
-El axioma de infinito garantiza la existencia de un conjunto que contiene todos estos números.+El axioma de infinito garantiza la existencia de al menos un conjunto inductivo que contiene 0 y está cerrado bajo sucesor.
  
-A partir de él puede construirse el conjunto de los números naturales.+Utilizando los demás axiomas, podemos obtener el menor de estos conjuntos, que identificamos con N, los números naturales.
  
 ===== Fundación ===== ===== Fundación =====
Línea 313: Línea 312:
 y en x. y en x.
  
-De manera informal, la relación de pertenencia no puede descender circularmente para siempre.+De manera informal, la relación de pertenencia no admite ciclos ni descensos infinitos a través de conjuntos sucesivamente pertenecientes unos a otros.
  
 Una formulación del axioma afirma que todo conjunto no vacío A contiene algún elemento x que no tiene elementos en común con A: Una formulación del axioma afirma que todo conjunto no vacío A contiene algún elemento x que no tiene elementos en común con A:
Línea 374: Línea 373:
  
 En etapas límite reunimos las etapas anteriores. En etapas límite reunimos las etapas anteriores.
 +
 +V_lambda = union_(beta < lambda) V_beta
  
 La colección de todas estas etapas constituye la llamada jerarquía acumulativa. La colección de todas estas etapas constituye la llamada jerarquía acumulativa.
Línea 402: Línea 403:
 0 = {} 0 = {}
  
-1 = {{}}+1 = %%{{}}%%
  
-2 = {{},{{}}}+2 = %%{{},{{}}}%%
  
 aunque normalmente resulta mucho más legible utilizar los nombres de los números anteriores: aunque normalmente resulta mucho más legible utilizar los nombres de los números anteriores:
Línea 442: Línea 443:
 Una codificación habitual es el par de Kuratowski: Una codificación habitual es el par de Kuratowski:
  
-(a,b) := {{a},{a,b}}.+(a,b) := %%{{a},{a,b}}.%%
  
 Esta construcción está diseñada para satisfacer la propiedad fundamental de los pares ordenados: Esta construcción está diseñada para satisfacer la propiedad fundamental de los pares ordenados:
Línea 479: Línea 480:
  
 (x,y) en f. (x,y) en f.
 +
 +Por tanto,
 +
 +f sub A x B.
  
 De esta forma podemos representar mediante conjuntos: De esta forma podemos representar mediante conjuntos:
Línea 529: Línea 534:
 Si ZFC fuera inconsistente, sería posible derivar una contradicción y, con ella, cualquier proposición expresable en la teoría. Si ZFC fuera inconsistente, sería posible derivar una contradicción y, con ella, cualquier proposición expresable en la teoría.
  
-Los resultados de incompletitud de Gödel imponen límites importantes a lo que una teoría suficientemente expresiva puede demostrar acerca de su propia consistencia, y son aplicables a ZFC, porque como hemos visto, ZFC puede representar los números naturales y sus funciones.+Los resultados de incompletitud de Gödel imponen límites importantes a lo que determinadas teorías pueden demostrar acerca de su propia consistencia, y son aplicables a ZFC porque es una teoría efectivamente axiomatizable y suficientemente expresiva para formalizar la aritmética. En particular, si ZFC es consistente, no puede demostrar mediante sus propios recursos una afirmación adecuada de su propia consistencia. Obviamente, esto no implica que ZFC sea inconsistente; establece una limitación sobre las formas en que podría demostrar su propia consistencia.
  
 Tampoco hemos demostrado que ZFC sea la única fundamentación posible ni que sea necesariamente la más adecuada para todos los propósitos. Tampoco hemos demostrado que ZFC sea la única fundamentación posible ni que sea necesariamente la más adecuada para todos los propósitos.
conceptos/teoria_de_conjuntos.1789038550.txt.gz · Última modificación: por modulus