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conceptos:valor_absoluto

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conceptos:valor_absoluto [2026/08/22 23:22] – creado modulusconceptos:valor_absoluto [2026/08/23 09:20] (actual) – [Uso del valor absoluto para obtener estimaciones] modulus
Línea 337: Línea 337:
 ==== Demostración algebraica ==== ==== Demostración algebraica ====
  
-Sabemos que, para cualquier número real x,+Considera un número real x cualquiera, y su relación con su valor absoluto |x| y su opuesto -|x|.
  
-%%-|x| <= x <= |x|%%.+Si x < 0,
  
-Por tanto,+%%-|x| = x < 0 < |x|%% 
 + 
 +Si x = 0, 
 + 
 +%%-|x|=x=0=|x|%% 
 + 
 +Si x > 0, 
 + 
 +%%-|x| = -x < 0 < x = |x|%% 
 + 
 +Por tanto y a fortiori, 
 + 
 +%%-|x| <= x <= |x|%% 
 + 
 +para todo número real x. 
 + 
 +Entonces,
  
 %%-|a| <= a <= |a|%% %%-|a| <= a <= |a|%%
Línea 464: Línea 480:
 y y
  
-%%-(|a|-|b|) <= |a-b|%%.+%%-(|a|-|b|) <= |a-b|%%
  
-Esto equivale a+por -1, 
 + 
 +%%|a|-|b| >= -|a-b|%% 
 + 
 +lo que es 
 + 
 +%%-|a-b| <= |a|-|b|%% 
 + 
 +Por tanto, combinando ambas desigualdades, 
 + 
 +%%-|a-b| <= |a|-|b| <= |a-b|%% 
 + 
 +Y como hemos visto, esto equivale a
  
 %%||a|-|b|| <= |a-b|%%. %%||a|-|b|| <= |a-b|%%.
Línea 504: Línea 532:
 Esta forma de razonamiento es extremadamente frecuente en análisis: transformamos una expresión difícil de controlar en otras expresiones para las que ya conocemos cotas. Esta forma de razonamiento es extremadamente frecuente en análisis: transformamos una expresión difícil de controlar en otras expresiones para las que ya conocemos cotas.
  
-La técnica utilizada en la demostración de la desigualdad inversa, reescribiendo un número como una suma y diferencia, es también my común.+La técnica utilizada en la demostración de la desigualdad triangular inversa, 
 +consistente en reescribir una expresión para hacer aparecer una cantidad que 
 +sabemos acotar, es muy común en análisis.
  
 Supongamos que sabemos que Supongamos que sabemos que
  
-|a-b| <= 1+%%|a-b| <= 1%% 
 + 
 +y queremos obtener una cota superior para %%|a|%% en función de %%|b|%%. 
 + 
 +La información que conocemos se refiere a a-b, pero esta expresión no aparece 
 +en %%|a|%%. Podemos hacerla aparecer sumando y restando b: 
 + 
 +a = a-b+b. 
 + 
 +Por tanto, 
 + 
 +%%|a| = |a-b+b|%%. 
 + 
 +Aplicamos la desigualdad triangular: 
 + 
 +%%|a| <= |a-b|+|b|%%. 
 + 
 +Como sabemos que 
 + 
 +%%|a-b| <= 1%%, 
 + 
 +obtenemos 
 + 
 +%%|a| <= |a-b|+|b| <= 1+|b|%%. 
 + 
 +Por tanto, 
 + 
 +%%|a| <= 1+|b|%%. 
 + 
 +La idea general consiste en reescribir la expresión que queremos acotar para 
 +hacer aparecer otras expresiones sobre las que ya disponemos de información. 
 + 
 +Para obtener una cota inferior, por ejemplo si necesitamos evitar que un valor absoluto en un denominador pueda ser cero, se utiliza una técnica similar. 
 + 
 +Supongamos que disponemos de la hipótesis 
 + 
 +%%|x-a| < delta%% 
 + 
 +y a != 0, típica en análisis. 
 + 
 +Nuestro objetivo es evitar que |x| pueda ser cero. 
 + 
 +Entonces fijamos delta tal que 0 < delta < |a|. 
 + 
 +El ejemplo típico es |a|/2, aunque vale cualquier elección de delta inferior a |a|. 
 + 
 +Sea delta < |a|/2. 
 + 
 +Reescribimos 
 + 
 +%%|a|=%% 
 + 
 +%%|a-x+x|<=%% 
 + 
 +%%|a-x|+|x|=%% 
 + 
 +%%|x-a|+|x|<%% 
 + 
 +%%delta+|x|%% 
 + 
 +Por tanto, restando delta de ambos lados, 
 + 
 +%%|a|-delta < |x|%% 
 + 
 +y 
 + 
 +%%|x| > |a|-delta%%
  
-y queremos encontrar un valor máximo para |a|, dependiendo de |b| (operación muy común en análisis).+de lo que inmediatamente se deduce, que |x| > 0 si |a| > delta.
  
-Podemos reescribir |a|+En particular, con nuestro delta < |a|/2,
  
-|a|=|a-b+b|<=|a-b|+|b|<=1+|b|.+%%|x| > |a|-delta > |a|-|a|/2 = |a|/2 > 0%%
  
 ==== Separar productos ==== ==== Separar productos ====
conceptos/valor_absoluto.1787440937.txt.gz · Última modificación: por modulus