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--- conceptos:valor_absoluto [2026/08/22 23:25] – [Uso del valor absoluto para obtener estimaciones] modulus
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 ==== Demostración algebraica ====
-Sabemos que, para cualquier número real x,
+Considera un número real x cualquiera, y su relación con su valor absoluto |x| y su opuesto -|x|.
-%%-|x| <= x <= |x|%%.
+Si x < 0,
-Por tanto,
+%%-|x| = x < 0 < |x|%%
+Si x = 0,
+%%-|x|=x=0=|x|%%
+Si x > 0,
+%%-|x| = -x < 0 < x = |x|%%
+Por tanto y a fortiori,
+%%-|x| <= x <= |x|%%
+para todo número real x.
+Entonces,
 %%-|a| <= a <= |a|%%
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 y
-%%-(|a|-|b|) <= |a-b|%%.
+%%-(|a|-|b|) <= |a-b|%%
-Esto equivale a
+por -1,
+%%|a|-|b| >= -|a-b|%%
+lo que es
+%%-|a-b| <= |a|-|b|%%
+Por tanto, combinando ambas desigualdades,
+%%-|a-b| <= |a|-|b| <= |a-b|%%
+Y como hemos visto, esto equivale a
 %%||a|-|b|| <= |a-b|%%.
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 Esta forma de razonamiento es extremadamente frecuente en análisis: transformamos una expresión difícil de controlar en otras expresiones para las que ya conocemos cotas.
-La técnica utilizada en la demostración de la desigualdad inversa, reescribiendo un número como una suma y diferencia, es también my común.
+La técnica utilizada en la demostración de la desigualdad triangular inversa,
+consistente en reescribir una expresión para hacer aparecer una cantidad que
+sabemos acotar, es muy común en análisis.
 Supongamos que sabemos que
@@ Línea 510: / Línea 540: @@
 %%|a-b| <= 1%%
-y queremos encontrar un valor máximo para |a|, dependiendo de |b| (operación muy común en análisis).
+y queremos obtener una cota superior para %%|a|%% en función de %%|b|%%.
+La información que conocemos se refiere a a-b, pero esta expresión no aparece
+en %%|a|%%. Podemos hacerla aparecer sumando y restando b:
+a = a-b+b.
+Por tanto,
+%%|a| = |a-b+b|%%.
+Aplicamos la desigualdad triangular:
+%%|a| <= |a-b|+|b|%%.
+Como sabemos que
+%%|a-b| <= 1%%,
+obtenemos
+%%|a| <= |a-b|+|b| <= 1+|b|%%.
+Por tanto,
+%%|a| <= 1+|b|%%.
+La idea general consiste en reescribir la expresión que queremos acotar para
+hacer aparecer otras expresiones sobre las que ya disponemos de información.
+Para obtener una cota inferior, por ejemplo si necesitamos evitar que un valor absoluto en un denominador pueda ser cero, se utiliza una técnica similar.
+Supongamos que disponemos de la hipótesis
+%%|x-a| < delta%%
+y a != 0, típica en análisis.
+Nuestro objetivo es evitar que |x| pueda ser cero.
+Entonces fijamos delta tal que 0 < delta < |a|.
+El ejemplo típico es |a|/2, aunque vale cualquier elección de delta inferior a |a|.
+Sea delta < |a|/2.
+Reescribimos
+%%|a|=%%
+%%|a-x+x|<=%%
+%%|a-x|+|x|=%%
+%%|x-a|+|x|<%%
+%%delta+|x|%%
+Por tanto, restando delta de ambos lados,
+%%|a|-delta < |x|%%
+y
+%%|x| > |a|-delta%%
+de lo que inmediatamente se deduce, que |x| > 0 si |a| > delta.
-Podemos reescribir |a|
+En particular, con nuestro delta < |a|/2,
-%%|a|=|a-b+b|<=|a-b|+|b|<=1+|b|.%%
+%%|x| > |a|-delta > |a|-|a|/2 = |a|/2 > 0%%
 ==== Separar productos ====