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conceptos:valor_absoluto

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conceptos:valor_absoluto [2026/08/22 23:29] – [Uso del valor absoluto para obtener estimaciones] modulusconceptos:valor_absoluto [2026/08/23 09:20] (actual) – [Uso del valor absoluto para obtener estimaciones] modulus
Línea 337: Línea 337:
 ==== Demostración algebraica ==== ==== Demostración algebraica ====
  
-Sabemos que, para cualquier número real x,+Considera un número real x cualquiera, y su relación con su valor absoluto |x| y su opuesto -|x|.
  
-%%-|x| <= x <= |x|%%.+Si x < 0,
  
-Por tanto,+%%-|x| = x < 0 < |x|%% 
 + 
 +Si x = 0, 
 + 
 +%%-|x|=x=0=|x|%% 
 + 
 +Si x > 0, 
 + 
 +%%-|x| = -x < 0 < x = |x|%% 
 + 
 +Por tanto y a fortiori, 
 + 
 +%%-|x| <= x <= |x|%% 
 + 
 +para todo número real x. 
 + 
 +Entonces,
  
 %%-|a| <= a <= |a|%% %%-|a| <= a <= |a|%%
Línea 464: Línea 480:
 y y
  
-%%-(|a|-|b|) <= |a-b|%%.+%%-(|a|-|b|) <= |a-b|%%
  
-Esto equivale a+por -1, 
 + 
 +%%|a|-|b| >= -|a-b|%% 
 + 
 +lo que es 
 + 
 +%%-|a-b| <= |a|-|b|%% 
 + 
 +Por tanto, combinando ambas desigualdades, 
 + 
 +%%-|a-b| <= |a|-|b| <= |a-b|%% 
 + 
 +Y como hemos visto, esto equivale a
  
 %%||a|-|b|| <= |a-b|%%. %%||a|-|b|| <= |a-b|%%.
Línea 541: Línea 569:
 La idea general consiste en reescribir la expresión que queremos acotar para La idea general consiste en reescribir la expresión que queremos acotar para
 hacer aparecer otras expresiones sobre las que ya disponemos de información. hacer aparecer otras expresiones sobre las que ya disponemos de información.
 +
 +Para obtener una cota inferior, por ejemplo si necesitamos evitar que un valor absoluto en un denominador pueda ser cero, se utiliza una técnica similar.
 +
 +Supongamos que disponemos de la hipótesis
 +
 +%%|x-a| < delta%%
 +
 +y a != 0, típica en análisis.
 +
 +Nuestro objetivo es evitar que |x| pueda ser cero.
 +
 +Entonces fijamos delta tal que 0 < delta < |a|.
 +
 +El ejemplo típico es |a|/2, aunque vale cualquier elección de delta inferior a |a|.
 +
 +Sea delta < |a|/2.
 +
 +Reescribimos
 +
 +%%|a|=%%
 +
 +%%|a-x+x|<=%%
 +
 +%%|a-x|+|x|=%%
 +
 +%%|x-a|+|x|<%%
 +
 +%%delta+|x|%%
 +
 +Por tanto, restando delta de ambos lados,
 +
 +%%|a|-delta < |x|%%
 +
 +y
 +
 +%%|x| > |a|-delta%%
 +
 +de lo que inmediatamente se deduce, que |x| > 0 si |a| > delta.
 +
 +En particular, con nuestro delta < |a|/2,
 +
 +%%|x| > |a|-delta > |a|-|a|/2 = |a|/2 > 0%%
  
 ==== Separar productos ==== ==== Separar productos ====
conceptos/valor_absoluto.1787441352.txt.gz · Última modificación: por modulus