En muchas situaciones matemáticas nos interesa conocer la magnitud de una cantidad independientemente de su signo.

Por ejemplo, los números

3

y

-3

son distintos, pero ambos se encuentran a la misma distancia de 0.

El valor absoluto permite expresar esta idea.

También nos permite medir la distancia entre dos números cualesquiera. Esta interpretación será especialmente importante al estudiar desigualdades, límites, continuidad y, posteriormente, espacios métricos.

El valor absoluto de un número real x se escribe

|x|

y se define de la siguiente manera:

Si

x >= 0,

entonces

|x| = x.

Si

x < 0,

entonces

|x| = -x.

Por ejemplo,

|3| = 3

porque 3 es positivo, mientras que

|-3| = -(-3) = 3.

También,

|0| = 0.

El valor absoluto nunca es negativo.

El valor absoluto de un número real x puede interpretarse como la distancia entre x y 0.

Por ejemplo,

|5| = 5

porque 5 se encuentra a una distancia 5 de 0.

Del mismo modo,

|-5| = 5

porque -5 también se encuentra a una distancia 5 de 0.

Esta interpretación explica por qué un número y su opuesto tienen el mismo valor absoluto:

|x| = |-x|.

Podemos utilizar el valor absoluto para medir la distancia entre dos números reales cualesquiera.

La distancia entre a y b es

|a-b|.

Por ejemplo, la distancia entre 2 y 5 es

|2-5| = |-3| = 3.

La distancia entre -2 y 4 es

|-2-4| = |-6| = 6.

La distancia entre dos números no depende del orden en que los consideremos.

Por tanto,

|a-b| = |b-a|.

Podemos demostrarlo algebraicamente.

Sabemos que

a-b = -(b-a).

Como un número y su opuesto tienen el mismo valor absoluto,

|x| = |-x|,

obtenemos

|a-b| = |-(b-a)| = |b-a|.

Esta propiedad recibe el nombre de simetría de la distancia.

Para todo número real x,

|x| >= 0.

Esto se sigue directamente de la definición.

Si x >= 0,

|x| = x >= 0.

Si x < 0,

-x > 0

y por tanto

|x| = -x > 0.

El valor absoluto de x es 0 si y sólo si x es 0:

|x| = 0 <-> x = 0.

Desde la interpretación métrica, esto significa que un punto está a distancia 0 de 0 únicamente cuando ese punto es el propio 0.

Más generalmente,

|a-b| = 0 <-> a = b.

Dos números están a distancia 0 si y sólo si son iguales.

Para todo número real x,

|-x| = |x|.

Esto también resulta natural desde la interpretación como distancia: x y -x se encuentran a la misma distancia de 0.

Para cualesquiera números reales a y b,

|ab| = |a||b|.

Podemos comprobarlo considerando los posibles signos de a y b.

Si a y b tienen el mismo signo, su producto es no negativo y

|ab| = ab

si ambos son no negativos, o el mismo valor positivo si ambos son negativos.

Si tienen signos distintos, ab es negativo y el valor absoluto elimina ese signo.

En todos los casos,

|ab| = |a||b|.

Esta propiedad permite separar el valor absoluto de un producto en los valores absolutos de sus factores.

Si b != 0,

|a/b| = |a|/|b|.

La condición b != 0 es necesaria porque la división por 0 no está definida.

La interpretación del valor absoluto como distancia permite traducir muchas desigualdades con valor absoluto a desigualdades ordinarias.

Supongamos que r > 0.

La desigualdad

|x| < r

significa que la distancia entre x y 0 es menor que r.

Esto equivale a

-r < x < r.

Por tanto,

|x| < r <-> -r < x < r.

Por ejemplo,

|x| < 3

equivale a

-3 < x < 3.

De forma análoga,

|x| <= r

equivale, para r >= 0, a

-r <= x <= r.

Por tanto,

|x| <= r <-> -r <= x <= r.

Si r >= 0,

|x| > r

significa que x se encuentra a una distancia de 0 mayor que r.

Por tanto, x debe encontrarse a uno u otro lado del intervalo comprendido entre -r y r:

x < -r

o

x > r.

Así,

|x| > r <-> x < -r o x > r.

De forma análoga,

|x| >= r <-> x <= -r o x >= r.

La expresión

|x-a|

representa la distancia entre x y a.

Por tanto, si eps > 0,

|x-a| < eps

significa que x se encuentra a una distancia menor que eps de a.

Esto equivale a

a-eps < x < a+eps.

Por tanto,

|x-a| < eps <-> a-eps < x < a+eps.

Desde un enfoque geométrico o topológico, decimos que x pertenece a la bola abierta de centro a y radio eps.

En la recta real, esta bola abierta es precisamente el intervalo

a-eps < x < a+eps.

Esta interpretación aparecerá constantemente en el estudio de límites y continuidad.

Una de las propiedades más importantes del valor absoluto es la desigualdad triangular:

|a+b| <= |a|+|b|.

Esta desigualdad afirma que el valor absoluto de una suma nunca puede superar la suma de los valores absolutos de sus sumandos.

Por ejemplo,

|3+(-2)| = |1| = 1,

mientras que

|3|+|-2| = 3+2 = 5.

Por tanto,

1 <= 5.

La desigualdad recibe su nombre de su interpretación geométrica.

Si queremos desplazarnos desde un punto hasta otro pasando por un tercer punto, la distancia recorrida mediante ese desvío nunca puede ser menor que la distancia directa entre los puntos inicial y final.

En la recta real, podemos interpretar

|a+b|

como la distancia directa entre 0 y a+b.

Podemos llegar al mismo punto realizando dos desplazamientos sucesivos: primero un desplazamiento a y después un desplazamiento b.

Las longitudes de esos desplazamientos son

|a|

y

|b|.

Por tanto, la distancia directa no puede ser mayor que la suma de ambas distancias:

|a+b| <= |a|+|b|.

Considera un número real x cualquiera, y su relación con su valor absoluto |x| y su opuesto -|x|.

Si x < 0,

-|x| = x < 0 < |x|

Si x = 0,

-|x|=x=0=|x|

Si x > 0,

-|x| = -x < 0 < x = |x|

Por tanto y a fortiori,

-|x| <= x <= |x|

para todo número real x.

Entonces,

-|a| <= a <= |a|

y

-|b| <= b <= |b|.

Sumando las desigualdades correspondientes,

-(|a|+|b|) <= a+b <= |a|+|b|.

Pero, como hemos visto anteriormente,

-r <= x <= r

equivale a

|x| <= r.

Tomando

x=a+b

y

r=|a|+|b|,

obtenemos

|a+b| <= |a|+|b|.

La desigualdad triangular no siempre es estricta.

Si a y b tienen el mismo signo, sus magnitudes se suman sin que una cantidad compense a la otra.

Si

a >= 0

y

b >= 0,

entonces

|a+b| = a+b = |a|+|b|.

Si

a <= 0

y

b <= 0,

entonces

|a+b| = -(a+b) = -a-b = |a|+|b|.

Por tanto, si a y b tienen el mismo signo, o alguno de ellos es 0,

|a+b| = |a|+|b|.

En cambio, si a y b tienen signos distintos y ninguno es 0, una cantidad compensa parcialmente a la otra y tenemos

|a+b| < |a|+|b|.

En resumen:

• Si ab >= 0, |a+b| = |a|+|b|.
• Si ab < 0, |a+b| < |a|+|b|.

Otra propiedad muy útil es la desigualdad triangular inversa:

||a|-|b|| <= |a-b|.

Esta desigualdad afirma que la diferencia entre las distancias de a y b al origen no puede ser mayor que la distancia entre a y b.

Por ejemplo, si dos números están muy próximos entre sí, sus distancias respecto de 0 tampoco pueden diferir mucho.

Podemos escribir

a = (a-b)+b.

Aplicando la desigualdad triangular,

|a| <= |a-b|+|b|.

Restando |b| de ambos lados,

|a|-|b| <= |a-b|.

Intercambiamos ahora a y b:

|b|-|a| <= |b-a|.

Por la simetría de la distancia,

|b-a| = |a-b|.

Por tanto,

|b|-|a| <= |a-b|.

Teniendo en cuenta que

-(|a|-|b|)=|b|-|a|

tenemos entonces simultáneamente

|a|-|b| <= |a-b|

y

-(|a|-|b|) <= |a-b|

por -1,

|a|-|b| >= -|a-b|

lo que es

-|a-b| <= |a|-|b|

Por tanto, combinando ambas desigualdades,

-|a-b| <= |a|-|b| <= |a-b|

Y como hemos visto, esto equivale a

||a|-|b|| <= |a-b|.

El valor absoluto y la desigualdad triangular son herramientas fundamentales para obtener cotas.

Supongamos que queremos acotar

|x+y|

y conocemos cotas para |x| e |y|.

Si sabemos que

|x| <= 2

y

|y| <= 3,

por la desigualdad triangular,

|x+y| <= |x|+|y|.

Utilizando las cotas conocidas,

|x+y| <= |x|+|y| <= 2+3 = 5.

Por tanto,

|x+y| <= 5.

Obsérvese que no hemos necesitado conocer los valores exactos de x e y.

Esta forma de razonamiento es extremadamente frecuente en análisis: transformamos una expresión difícil de controlar en otras expresiones para las que ya conocemos cotas.

La técnica utilizada en la demostración de la desigualdad triangular inversa, consistente en reescribir una expresión para hacer aparecer una cantidad que sabemos acotar, es muy común en análisis.

Supongamos que sabemos que

|a-b| <= 1

y queremos obtener una cota superior para |a| en función de |b|.

La información que conocemos se refiere a a-b, pero esta expresión no aparece en |a|. Podemos hacerla aparecer sumando y restando b:

a = a-b+b.

Por tanto,

|a| = |a-b+b|.

Aplicamos la desigualdad triangular:

|a| <= |a-b|+|b|.

Como sabemos que

|a-b| <= 1,

obtenemos

|a| <= |a-b|+|b| <= 1+|b|.

Por tanto,

|a| <= 1+|b|.

La idea general consiste en reescribir la expresión que queremos acotar para hacer aparecer otras expresiones sobre las que ya disponemos de información.

Para obtener una cota inferior, por ejemplo si necesitamos evitar que un valor absoluto en un denominador pueda ser cero, se utiliza una técnica similar.

Supongamos que disponemos de la hipótesis

|x-a| < delta

y a != 0, típica en análisis.

Nuestro objetivo es evitar que |x| pueda ser cero.

Entonces fijamos delta tal que 0 < delta < |a|.

El ejemplo típico es |a|/2, aunque vale cualquier elección de delta inferior a |a|.

Sea delta < |a|/2.

Reescribimos

|a|=

|a-x+x|<=

|a-x|+|x|=

|x-a|+|x|<

delta+|x|

Por tanto, restando delta de ambos lados,

|a|-delta < |x|

y

|x| > |a|-delta

de lo que inmediatamente se deduce, que |x| > 0 si |a| > delta.

En particular, con nuestro delta < |a|/2,

La propiedad

|ab| = |a||b|

también resulta especialmente útil para obtener estimaciones.

Por ejemplo,

|x^2-y^2|

puede factorizarse como

|(x-y)(x+y)|.

Utilizando el valor absoluto de un producto,

|x^2-y^2| = |x-y||x+y|.

Y mediante la desigualdad triangular,

|x+y| <= |x|+|y|.

Por tanto,

|x^2-y^2| <= |x-y|(|x|+|y|).

Esta clase de transformación aparecerá frecuentemente al estudiar límites y continuidad.

El valor absoluto no consiste simplemente en “quitar el signo menos”.

Por ejemplo,

|x|

no puede simplificarse a x si desconocemos el signo de x.

Si x >= 0,

|x| = x,

pero si x < 0,

|x| = -x.

En general,

|a+b| != |a|+|b|.

Por ejemplo,

a=3

y

b=-2

dan

|a+b| = |1| = 1,

mientras que

|a|+|b| = 3+2 = 5.

Lo que sí podemos afirmar siempre es la desigualdad triangular:

|a+b| <= |a|+|b|.

La desigualdad

|x| > 3

no significa solamente

x > 3.

También puede cumplirse cuando x es suficientemente negativo.

La solución completa es

x < -3

o

x > 3.

Para números reales a, b y x:

|x| >= 0.

|x| = 0 <-> x = 0.

|-x| = |x|.

|ab| = |a||b|.

Si b != 0, |a/b| = |a|/|b|.

|a-b| = |b-a|.

|a+b| <= |a|+|b|.

||a|-|b|| <= |a-b|.

Si r > 0, |x| < r <-> -r < x < r.

Si r >= 0, |x| <= r <-> -r <= x <= r.

Si r >= 0, |x| > r <-> x < -r o x > r.

Si eps > 0, |x-a| < eps <-> a-eps < x < a+eps.

Calcula:

|-7|

|4-9|

|-3*5|

Resuelve:

|x| < 4.

Resuelve:

|x-2| <= 3.

Interpreta el resultado como una afirmación sobre la distancia entre x y 2.

Resuelve:

|x+1| > 2.

Supón que

|x| <= 3

y

|y| <= 2.

Obtén una cota superior para

|x+y|.

Demuestra utilizando la desigualdad triangular que

|a-b| <= |a|+|b|.

Supón que

|x-a| < 1/10.

Escribe esta afirmación como una doble desigualdad sin utilizar valor absoluto.

|-7| = 7.

|4-9| = |-5| = 5.

|-3*5| = |-15| = 15.

|x| < 4

significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.

Por tanto,

-4 < x < 4.

Partimos de

|x-2| <= 3.

Esto significa que x se encuentra a una distancia de 2 menor o igual que 3.

Por tanto,

2-3 <= x <= 2+3.

Simplificando,

-1 <= x <= 5.

|x+1| > 2

puede escribirse como

|x-(-1)| > 2.

Por tanto, la distancia entre x y -1 debe ser mayor que 2.

Esto ocurre cuando

x < -3

o

x > 1.

Por la desigualdad triangular,

|x+y| <= |x|+|y|.

Como

|x| <= 3

y

|y| <= 2,

obtenemos

|x+y| <= 3+2 = 5.

Por tanto, 5 es una cota superior.

Escribimos

a-b = a+(-b).

Por la desigualdad triangular,

|a-b| <= |a|+|-b|.

Como

|-b| = |b|,

obtenemos

|a-b| <= |a|+|b|.

La expresión

|x-a| < 1/10

significa que x se encuentra a una distancia menor que 1/10 de a.

Por tanto,

a-1/10 < x < a+1/10.

• Desigualdades
• Límite de una sucesión
• Continuidad
• Distancia

• |x|: valor absoluto de x.
• |a-b|: distancia entre los números reales a y b.
• <->: si y sólo si.
• eps: letra griega épsilon. En este artículo representa una distancia positiva arbitraria.