Mates sin ojos

Aprender matemáticas sin vista.

Herramientas de usuario

Herramientas del sitio

Traza:
conceptos:conjuntos

Diferencias

Muestra las diferencias entre dos versiones de la página.

Enlace a la vista de comparación

Próxima revisión		Revisión previa
conceptos:conjuntos [2026/08/24 06:22] – creado modulusconceptos:conjuntos [2026/09/14 11:35] (actual) – [Referencia rápida] modulus
Línea 15: Línea 15:
 Un conjunto es una colección de objetos considerados conjuntamente. Un conjunto es una colección de objetos considerados conjuntamente.
  
-Los objetos que forman parte de un conjunto reciben el nombre de enentos.+Los objetos que forman parte de un conjunto reciben el nombre de elementos.
  
 La teoría de conjuntos proporciona un lenguaje común para describir muchas estructuras matemáticas. Utilizaremos conjuntos posteriormente para definir relaciones, funciones, intervalos, espacios y otros conceptos. La teoría de conjuntos proporciona un lenguaje común para describir muchas estructuras matemáticas. Utilizaremos conjuntos posteriormente para definir relaciones, funciones, intervalos, espacios y otros conceptos.
Línea 25: Línea 25:
 x en A. x en A.
  
-Esto significa que x es uno de los enentos de A.+Esto significa que x es uno de los elementos de A.
  
 Por ejemplo, si Por ejemplo, si
Línea 49: Línea 49:
 x en A, x en A,
  
-x es un enento y A es un conjunto.+x es un elemento y A es un conjunto.
  
-===== Describir un conjunto enumerando sus enentos =====+===== Describir un conjunto enumerando sus elementos =====
  
-Cuando un conjunto tiene pocos enentos, podemos describirlo enumerándolos entre llaves.+Cuando un conjunto tiene pocos elementos, podemos describirlo enumerándolos entre llaves.
  
 Por ejemplo, Por ejemplo,
Línea 59: Línea 59:
 A = {1, 2, 3}. A = {1, 2, 3}.
  
-El orden en que enumeramos los enentos no importa:+El orden en que enumeramos los elementos no importa:
  
 {1, 2, 3} = {3, 1, 2}. {1, 2, 3} = {3, 1, 2}.
  
-Tampoco importa repetir un enento:+Tampoco importa repetir un elemento:
  
 {1, 2, 2, 3} = {1, 2, 3}. {1, 2, 2, 3} = {1, 2, 3}.
  
-Un conjunto queda determinado por cuáles son sus enentos, no por el orden en que los escribamos ni por el número de veces que los repitamos.+Un conjunto queda determinado por cuáles son sus elementos, no por el orden en que los escribamos ni por el número de veces que los repitamos.
  
 Esto diferencia los conjuntos de otras estructuras, como las sucesiones, en las que el orden sí importa. Esto diferencia los conjuntos de otras estructuras, como las sucesiones, en las que el orden sí importa.
Línea 73: Línea 73:
 ===== Describir un conjunto mediante una propiedad ===== ===== Describir un conjunto mediante una propiedad =====
  
-No siempre podemos o queremos enumerar todos los enentos de un conjunto. entre otros motivos, hay conjuntos que contienen infinitos elementos, y por tanto no pueden escribirse.+No siempre podemos o queremos enumerar todos los elementos de un conjunto. entre otros motivos, hay conjuntos que contienen infinitos elementos, y por tanto no pueden escribirse.
  
-Podemos describir un conjunto indicando una propiedad que deben cumplir sus enentos.+Podemos describir un conjunto indicando una propiedad que deben cumplir sus elementos.
  
 Por ejemplo, podemos definir el conjunto de números reales positivos mediante Por ejemplo, podemos definir el conjunto de números reales positivos mediante
Línea 97: Línea 97:
 {x en A : P(x)} {x en A : P(x)}
  
-representa el conjunto formado por los enentos x de A que satisfacen la propiedad P.+representa el conjunto formado por los elementos x de A que satisfacen la propiedad P. 
 + 
 +La definición de un conjunto por enumeración de sus miembros se llama extensional, y por las propiedades suficientes se denomina intensional.
  
 ===== Subconjuntos ===== ===== Subconjuntos =====
  
-Decimos que A es un subconjunto de B cuando todos los enentos de A pertenecen también a B.+Decimos que A es un subconjunto de B cuando todos los elementos de A pertenecen también a B.
  
 Lo escribiremos Lo escribiremos
Línea 143: Línea 145:
 B sub A. B sub A.
  
-La primera expresión afirma que x es un enento de A.+La primera expresión afirma que x es un elemento de A.
  
-La segunda afirma que B es un conjunto y que todos sus enentos pertenecen a A.+La segunda afirma que B es un conjunto y que todos sus elementos pertenecen a A.
  
 Por ejemplo, si Por ejemplo, si
Línea 167: Línea 169:
 {1} en A {1} en A
  
-es falso para el conjunto A anterior, porque los enentos de A son 1, 2 y 3, no el conjunto {1}.+es falso para el conjunto A anterior, porque los elementos de A son 1, 2 y 3, no el conjunto {1}.
  
 ===== Conjunto vacío ===== ===== Conjunto vacío =====
  
-Existe un conjunto que no contiene ningún enento. Lo llamamos conjunto vacío y escribiremos+Existe un conjunto que no contiene ningún elemento. Lo llamamos conjunto vacío y escribiremos
  
 {} {}
Línea 183: Línea 185:
 {} sub A. {} sub A.
  
-Para comprobarlo, tendríamos que encontrar algún enento del conjunto vacío que no perteneciera a A.+Para comprobarlo, tendríamos que encontrar algún elemento del conjunto vacío que no perteneciera a A.
  
-Pero el conjunto vacío no tiene enentos.+Pero el conjunto vacío no tiene elementos.
  
-Por tanto, no existe ningún enento que pueda incumplir la condición requerida para ser subconjunto de A.+Por tanto, no existe ningún elemento que pueda incumplir la condición requerida para ser subconjunto de A.
  
-Esta es una aplicación de la verdad vacía: una afirmación universal sobre los enentos de un conjunto vacío es verdadera porque no existe ningún enento que pueda constituir un contraejemplo.+Esta es una aplicación de la verdad vacía: una afirmación universal sobre los elementos de un conjunto vacío es verdadera porque no existe ningún elemento que pueda constituir un contraejemplo.
  
 ===== Igualdad de conjuntos ===== ===== Igualdad de conjuntos =====
  
-Dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen exactamente los mismos enentos.+Dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen exactamente los mismos elementos.
  
 Por tanto, Por tanto,
Línea 199: Línea 201:
 A = B A = B
  
-si y sólo si todo enento de A pertenece a B y todo enento de B pertenece a A.+si y sólo si todo elemento de A pertenece a B y todo elemento de B pertenece a A.
  
 Simbólicamente, Simbólicamente,
Línea 217: Línea 219:
 podemos demostrar por separado: podemos demostrar por separado:
  
-  * Todo enento de A pertenece a B (A sub B). +  * Todo elemento de A pertenece a B (A sub B). 
-  * Todo enento de B pertenece a A (B sub A).+  * Todo elemento de B pertenece a A (B sub A).
  
 Este procedimiento se denomina demostración por doble inclusión. Este procedimiento se denomina demostración por doble inclusión.
Línea 228: Línea 230:
 ==== Unión ==== ==== Unión ====
  
-La unión de dos conjuntos A y B contiene los enentos que pertenecen a A, a B o a ambos.+La unión de dos conjuntos A y B contiene los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos.
  
 Escribiremos Escribiremos
Línea 250: Línea 252:
 A union B = {1, 2, 3, 4, 5}. A union B = {1, 2, 3, 4, 5}.
  
-El enento 3 aparece una sola vez porque la repetición de enentos no altera un conjunto.+El elemento 3 aparece una sola vez porque la repetición de elementos no altera un conjunto.
  
 ==== Intersección ==== ==== Intersección ====
  
-La intersección de A y B contiene los enentos que pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos.+La intersección de A y B contiene los elementos que pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos.
  
 Escribiremos Escribiremos
Línea 268: Línea 270:
 A inter B = {3}. A inter B = {3}.
  
-Si dos conjuntos no tienen ningún enento en común, su intersección es el conjunto vacío:+Si dos conjuntos no tienen ningún elemento en común, su intersección es el conjunto vacío:
  
 A inter B = {}. A inter B = {}.
  
 En ese caso decimos que A y B son disjuntos. En ese caso decimos que A y B son disjuntos.
- 
-La definición de un conjunto por enumeración de sus miembros se llama extensional, y por las propiedades suficientes se denomina intensional. 
  
 ==== Diferencia ==== ==== Diferencia ====
  
-La diferencia entre A y B contiene los enentos que pertenecen a A pero no pertenecen a B.+La diferencia entre A y B contiene los elementos que pertenecen a A pero no pertenecen a B.
  
 Escribiremos Escribiremos
Línea 314: Línea 314:
 Si estamos trabajando dentro de un conjunto U que contiene todos los objetos que estamos considerando, podemos definir el complemento de A respecto de U. Si estamos trabajando dentro de un conjunto U que contiene todos los objetos que estamos considerando, podemos definir el complemento de A respecto de U.
  
-El complemento contiene los enentos de U que no pertenecen a A.+El complemento contiene los elementos de U que no pertenecen a A.
  
 Podemos escribir Podemos escribir
Línea 358: Línea 358:
 A inter (B union C) = (A inter B) union (A inter C), A inter (B union C) = (A inter B) union (A inter C),
  
-podemos tomar un enento arbitrario x y estudiar las condiciones necesarias para que pertenezca a cada lado.+podemos tomar un elemento arbitrario x y estudiar las condiciones necesarias para que pertenezca a cada lado.
  
 Tenemos Tenemos
Línea 376: Línea 376:
 x en (A inter B) union (A inter C). x en (A inter B) union (A inter C).
  
-Por tanto, ambos conjuntos contienen exactamente los mismos enentos y son iguales.+Por tanto, ambos conjuntos contienen exactamente los mismos elementos y son iguales.
  
 Este ejemplo muestra la estrecha relación existente entre las operaciones con conjuntos y las operaciones de la lógica proposicional. Este ejemplo muestra la estrecha relación existente entre las operaciones con conjuntos y las operaciones de la lógica proposicional.
 +
 +===== Identidades entre conjuntos =====
 +
 +Las operaciones entre conjuntos satisfacen numerosas identidades que resultan útiles para simplificar expresiones y realizar demostraciones.
 +
 +Aunque conviene familiarizarse con las más importantes, no es necesario memorizarlas todas. Muchas pueden reconstruirse estudiando qué significa que un elemento pertenezca a cada uno de los conjuntos implicados.
 +
 +==== Correspondencia entre conjuntos y lógica ====
 +
 +Existe una estrecha relación entre las operaciones con conjuntos y las operaciones de la lógica.
 +
 +Para un elemento x,
 +
 +x en A inter B
 +
 +si y sólo si
 +
 +x en A y x en B.
 +
 +Por tanto,
 +
 +x en A inter B <-> x en A y x en B.
 +
 +De forma análoga,
 +
 +x en A union B <-> x en A o x en B.
 +
 +Si todos los conjuntos considerados son subconjuntos de un conjunto de referencia U, podemos representar el complemento de A mediante
 +
 +U \ A.
 +
 +Para x en U,
 +
 +x en U \ A <-> no(x en A).
 +
 +La inclusión también puede expresarse lógicamente:
 +
 +A sub B <-> pt x: x en A -> x en B.
 +
 +Por último, dos conjuntos son iguales cuando tienen exactamente los mismos elementos:
 +
 +A = B <-> pt x: x en A <-> x en B.
 +
 +Por tanto, podemos establecer la siguiente correspondencia:
 +
 +  * inter corresponde a y.
 +  * union corresponde a o.
 +  * complemento corresponde a no.
 +  * sub corresponde a una implicación para todos los elementos.
 +  * igualdad corresponde a una equivalencia para todos los elementos.
 +
 +La correspondencia no significa que una operación conjuntista y una operación lógica sean literalmente el mismo objeto. Significa que la pertenencia a los conjuntos resultantes se caracteriza mediante las operaciones lógicas correspondientes.
 +
 +Esta relación permite trasladar muchas identidades lógicas a identidades entre conjuntos.
 +
 +==== Idempotencia ====
 +
 +La unión o intersección de un conjunto consigo mismo no lo modifica:
 +
 +A union A = A
 +
 +A inter A = A.
 +
 +Podemos comprobar la primera identidad tomando un elemento cualquiera x:
 +
 +x en A union A <->
 +
 +x en A o x en A <->
 +
 +x en A.
 +
 +De manera análoga,
 +
 +x en A inter A <->
 +
 +x en A y x en A <->
 +
 +x en A.
 +
 +Por tanto,
 +
 +A union A = A
 +
 +y
 +
 +A inter A = A.
 +
 +==== Identidad y absorción por el conjunto vacío ====
 +
 +El conjunto vacío actúa de manera diferente respecto de la unión y la intersección:
 +
 +A union {} = A
 +
 +A inter {} = {}.
 +
 +Para la unión,
 +
 +x en A union {} <->
 +
 +x en A o x en {} <->
 +
 +x en A,
 +
 +porque ningún elemento pertenece a {}.
 +
 +Para la intersección,
 +
 +x en A inter {} <->
 +
 +x en A y x en {}.
 +
 +La segunda condición nunca se cumple, por lo que ningún x pertenece a la intersección. Así,
 +
 +A inter {} = {}.
 +
 +Si trabajamos dentro de un conjunto de referencia U, también tenemos
 +
 +A union U = U
 +
 +A inter U = A.
 +
 +==== Conmutatividad ====
 +
 +La unión y la intersección son conmutativas:
 +
 +A union B = B union A
 +
 +A inter B = B inter A.
 +
 +Por ejemplo,
 +
 +x en A union B <->
 +
 +x en A o x en B <->
 +
 +x en B o x en A <->
 +
 +x en B union A.
 +
 +La demostración para la intersección es análoga y utiliza la conmutatividad de la conjunción lógica.
 +
 +==== Asociatividad ====
 +
 +La unión y la intersección son asociativas:
 +
 +(A union B) union C = A union (B union C)
 +
 +(A inter B) inter C = A inter (B inter C).
 +
 +Por ejemplo,
 +
 +x en (A union B) union C <->
 +
 +(x en A o x en B) o x en C <->
 +
 +x en A o (x en B o x en C) <->
 +
 +x en A union (B union C).
 +
 +Gracias a la asociatividad podemos escribir expresiones como
 +
 +A union B union C
 +
 +sin necesidad de indicar mediante paréntesis qué unión se realiza primero.
 +
 +Lo mismo ocurre con la intersección.
 +
 +==== Distributividad ====
 +
 +La intersección distribuye sobre la unión:
 +
 +A inter (B union C) = (A inter B) union (A inter C).
 +
 +Para demostrarlo, tomamos un elemento cualquiera x:
 +
 +x en A inter (B union C) <->
 +
 +x en A y (x en B o x en C) <->
 +
 +(x en A y x en B) o (x en A y x en C) <->
 +
 +x en (A inter B) union (A inter C).
 +
 +También la unión distribuye sobre la intersección:
 +
 +A union (B inter C) = (A union B) inter (A union C).
 +
 +La demostración sigue el mismo procedimiento:
 +
 +x en A union (B inter C) <->
 +
 +x en A o (x en B y x en C) <->
 +
 +(x en A o x en B) y (x en A o x en C) <->
 +
 +x en (A union B) inter (A union C).
 +
 +En la aritmética, el producto distribuye sobre la suma:
 +
 +a*(b+c) = a*b+a*c.
 +
 +Sin embargo, la suma no distribuye sobre el producto. En general,
 +
 +a+(b*c) != (a+b)*(a+c).
 +
 +En cambio, para las operaciones con conjuntos, la intersección distribuye
 +sobre la unión y la unión distribuye sobre la intersección.
 +
 +Esta propiedad recibe a veces el nombre de doble distributividad.
 +
 +==== Absorción ====
 +
 +La unión y la intersección satisfacen las siguientes identidades de absorción:
 +
 +A union (A inter B) = A
 +
 +A inter (A union B) = A.
 +
 +Para la primera,
 +
 +x en A union (A inter B) <->
 +
 +x en A o (x en A y x en B) <->
 +
 +x en A.
 +
 +La proposición
 +
 +P o (P y Q)
 +
 +equivale simplemente a P.
 +
 +Análogamente,
 +
 +P y (P o Q)
 +
 +equivale a P,
 +
 +lo que proporciona la segunda identidad.
 +
 +==== Complemento ====
 +
 +Supongamos que trabajamos dentro de un conjunto de referencia U.
 +
 +El complemento de A respecto de U es
 +
 +U \ A.
 +
 +Tenemos:
 +
 +A union (U \ A) = U
 +
 +A inter (U \ A) = {}
 +
 +U \ (U \ A) = A.
 +
 +Las dos primeras identidades corresponden a las propiedades lógicas
 +
 +P o no(P)
 +
 +y
 +
 +P y no(P).
 +
 +En lógica clásica, la primera es siempre verdadera y la segunda siempre falsa.
 +
 +**Nota constructiva:** la identidad
 +
 +A union (U \ A) = U
 +
 +depende, para conjuntos definidos mediante propiedades arbitrarias, de poder decidir para cada x en U si x en A o x noen A. En un marco constructivo esta propiedad no puede darse por supuesta para cualquier conjunto o predicado. En cambio,
 +
 +A inter (U \ A) = {}
 +
 +no requiere la ley del tercero excluido.
 +
 +==== Leyes de De Morgan ====
 +
 +El complemento transforma uniones en intersecciones e intersecciones en uniones.
 +
 +Tenemos
 +
 +U \ (A union B) = (U \ A) inter (U \ B)
 +
 +y
 +
 +U \ (A inter B) = (U \ A) union (U \ B).
 +
 +La primera identidad puede demostrarse traduciendo la pertenencia a lógica:
 +
 +x en U \ (A union B) <->
 +
 +no(x en A union B) <->
 +
 +no(x en A o x en B) <->
 +
 +no(x en A) y no(x en B) <->
 +
 +x en (U \ A) inter (U \ B).
 +
 +La segunda corresponde a la otra ley de De Morgan:
 +
 +no(P y Q) <-> no(P) o no(Q).
 +
 +**Nota constructiva:** conviene distinguir las dos direcciones de esta última equivalencia. La implicación
 +
 +no(P) o no(Q) -> no(P y Q)
 +
 +es constructivamente válida, pero la implicación inversa no lo es en general. Por tanto, la segunda identidad de De Morgan requiere principios clásicos cuando se interpreta sobre predicados arbitrarios.
 +
 +==== Diferencia de conjuntos ====
 +
 +La diferencia puede expresarse mediante intersección y complemento:
 +
 +A \ B = A inter (U \ B),
 +
 +si A y B son subconjuntos del conjunto de referencia U.
 +
 +También se cumplen:
 +
 +A \ {} = A
 +
 +{} \ A = {}
 +
 +A \ A = {}.
 +
 +Otra identidad útil es
 +
 +(A \ B) \ C = A \ (B union C).
 +
 +Podemos reconstruirla mediante lógica:
 +
 +x en (A \ B) \ C <->
 +
 +x en A y no(x en B) y no(x en C) <->
 +
 +x en A y no(x en B o x en C) <->
 +
 +x en A \ (B union C).
 +
 +==== Inclusión y operaciones ====
 +
 +La inclusión permite obtener varias propiedades útiles.
 +
 +Si
 +
 +A sub B,
 +
 +entonces
 +
 +A inter B = A
 +
 +y
 +
 +A union B = B.
 +
 +También se cumple el recíproco:
 +
 +A sub B <-> A inter B = A
 +
 +y
 +
 +A sub B <-> A union B = B.
 +
 +Estas equivalencias proporcionan distintas maneras de demostrar una inclusión.
 +
 +Por ejemplo, en lugar de demostrar directamente
 +
 +A sub B,
 +
 +en algunos casos puede resultar más cómodo demostrar
 +
 +A inter B = A.
 +
 +==== Igualdad mediante pertenencia ====
 +
 +La técnica general utilizada en las demostraciones anteriores merece hacerse explícita.
 +
 +Para demostrar
 +
 +A = B,
 +
 +podemos tomar un elemento arbitrario x y demostrar
 +
 +x en A <-> x en B.
 +
 +Si conseguimos transformar la condición de pertenencia a A en la condición de pertenencia a B mediante equivalencias lógicas, hemos demostrado que ambos conjuntos tienen exactamente los mismos elementos.
 +
 +Por ejemplo:
 +
 +x en A inter (B union C) <->
 +
 +x en A y (x en B o x en C) <->
 +
 +(x en A y x en B) o (x en A y x en C) <->
 +
 +x en (A inter B) union (A inter C).
 +
 +Por tanto,
 +
 +A inter (B union C) = (A inter B) union (A inter C).
 +
 +Este procedimiento permite reconstruir muchas identidades entre conjuntos sin necesidad de memorizarlas.
 +
 +==== Referencia rápida ====
 +
 +Para conjuntos A, B y C:
 +
 +  * A union A = A.
 +  * A inter A = A.
 +  * A union {} = A.
 +  * A inter {} = {}.
 +  * A union B = B union A.
 +  * A inter B = B inter A.
 +  * (A union B) union C = A union (B union C).
 +  * (A inter B) inter C = A inter (B inter C).
 +  * A inter (B union C) = (A inter B) union (A inter C).
 +  * A union (B inter C) = (A union B) inter (A union C).
 +  * A union (A inter B) = A.
 +  * A inter (A union B) = A.
 +  * A \ {} = A.
 +  * {} \ A = {}.
 +  * A \ A = {}.
 +  * (A \ B) \ C = A \ (B union C).
 +
 +Si A, B sub U:
 +
 +  * A union U = U.
 +  * A inter U = A.
 +  * A union (U \ A) = U.
 +  * A inter (U \ A) = {}.
 +  * U \ (U \ A) = A.
 +  * U \ (A union B) = (U \ A) inter (U \ B).
 +  * U \ (A inter B) = (U \ A) union (U \ B).
 +
 +Para la inclusión:
 +
 +  * A sub B <-> A inter B = A.
 +  * A sub B <-> A union B = B.
  
 ===== Conjunto potencia ===== ===== Conjunto potencia =====
Línea 398: Línea 837:
 entonces entonces
  
-P(A) = {{}, {1}, {2}, {1, 2}}.+%%P(A) = {{}, {1}, {2}, {1, 2}}.%%
  
 Obsérvese aquí especialmente la diferencia entre pertenencia e inclusión: Obsérvese aquí especialmente la diferencia entre pertenencia e inclusión:
Línea 410: Línea 849:
 ===== Pares ordenados ===== ===== Pares ordenados =====
  
-En un conjunto ordinario, el orden de los enentos no importa:+En un conjunto ordinario, el orden de los elementos no importa:
  
 {a, b} = {b, a}. {a, b} = {b, a}.
Línea 516: Línea 955:
 Este punto de vista permite tratar de la misma manera ecuaciones, desigualdades y otras condiciones matemáticas: buscamos el conjunto de objetos que satisfacen una determinada propiedad. Este punto de vista permite tratar de la misma manera ecuaciones, desigualdades y otras condiciones matemáticas: buscamos el conjunto de objetos que satisfacen una determinada propiedad.
  
-===== Referencia rápida ===== 
- 
-  * x en A: x pertenece al conjunto A. 
-  * x noen A: x no pertenece al conjunto A. 
-  * A sub B: A es subconjunto de B. 
-  * {}: conjunto sin enentos. 
-  * A union B: unión de A y B. 
-  * A inter B: intersección de A y B. 
-  * A \ B: enentos de A que no pertenecen a B. 
-  * P(A): conjunto de todos los subconjuntos de A. 
-  * (a,b): par ordenado formado por a y b. 
-  * A x B: producto cartesiano de A y B. 
-  * {x en A : P(x)}: enentos de A que satisfacen la propiedad P. 
-  * (a,b): intervalo abierto entre los números reales a y b. 
-  * [a,b]: intervalo cerrado entre los números reales a y b. 
  
 ===== Ejercicios ===== ===== Ejercicios =====
Línea 561: Línea 985:
 B = {a, b, c}. B = {a, b, c}.
  
-Escribe todos los enentos de+Escribe todos los elementos de
  
 A x B. A x B.
Línea 635: Línea 1059:
 1 en A es verdadera. 1 en A es verdadera.
  
-{1} en A es falsa, porque {1} no es uno de los enentos enumerados en A.+{1} en A es falsa, porque {1} no es uno de los elementos enumerados en A.
  
-{1} sub A es verdadera, porque el único enento de {1}, que es 1, pertenece a A.+{1} sub A es verdadera, porque el único elemento de {1}, que es 1, pertenece a A.
  
 {} sub A es verdadera, porque el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto. {} sub A es verdadera, porque el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto.
  
-{} en A es falsa, porque el conjunto vacío no aparece como enento de A.+{} en A es falsa, porque el conjunto vacío no aparece como elemento de A.
  
 Este ejercicio muestra que pertenencia e inclusión son relaciones diferentes. Este ejercicio muestra que pertenencia e inclusión son relaciones diferentes.
Línea 673: Línea 1097:
 Por tanto, Por tanto,
  
-P(A) = {{}, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}}.+%%P(A) = {{}, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}}.%%
  
 ==== Solución del ejercicio 5 ==== ==== Solución del ejercicio 5 ====
Línea 699: Línea 1123:
 A inter B sub A. A inter B sub A.
  
-Sea x un enento arbitrario de A inter B.+Sea x un elemento arbitrario de A inter B.
  
 Por definición de intersección, Por definición de intersección,
Línea 713: Línea 1137:
 x en A. x en A.
  
-Por tanto, todo enento de A inter B pertenece a A y hemos demostrado+Por tanto, todo elemento de A inter B pertenece a A y hemos demostrado
  
 A inter B sub A. A inter B sub A.
Línea 739: Línea 1163:
 x en {}. x en {}.
  
-El segundo caso es imposible porque {} no contiene ningún enento.+El segundo caso es imposible porque {} no contiene ningún elemento.
  
 Por tanto, Por tanto,
Línea 773: Línea 1197:
 A inter (B union C) = (A inter B) union (A inter C). A inter (B union C) = (A inter B) union (A inter C).
  
-Sea x un enento cualquiera.+Sea x un elemento cualquiera.
  
 Tenemos Tenemos
Línea 825: Línea 1249:
   * A x B: producto cartesiano de A y B; conjunto de los pares (a,b) tales que a en A y b en B.   * A x B: producto cartesiano de A y B; conjunto de los pares (a,b) tales que a en A y b en B.
   * (a,b): intervalo abierto de números reales entre a y b. El contexto permite distinguirlo de un par ordenado.   * (a,b): intervalo abierto de números reales entre a y b. El contexto permite distinguirlo de un par ordenado.
-  * [a,b]&#58; intervalo cerrado de números reales entre a y b.+  * [a,b]: intervalo cerrado de números reales entre a y b.
   * [a,b): intervalo de números reales que incluye a pero excluye b.   * [a,b): intervalo de números reales que incluye a pero excluye b.
   * (a,b]: intervalo de números reales que excluye a pero incluye b.   * (a,b]: intervalo de números reales que excluye a pero incluye b.
      
conceptos/conjuntos.1787552543.txt.gz · Última modificación: por modulus