En matemáticas necesitamos frecuentemente hablar de colecciones de objetos.

Por ejemplo, podemos considerar:

• los números naturales;
• los números reales;
• los números reales comprendidos entre 0 y 1;
• las soluciones de una ecuación;
• los puntos en los que está definida una función.

Un conjunto es una colección de objetos considerados conjuntamente.

Los objetos que forman parte de un conjunto reciben el nombre de enentos.

La teoría de conjuntos proporciona un lenguaje común para describir muchas estructuras matemáticas. Utilizaremos conjuntos posteriormente para definir relaciones, funciones, intervalos, espacios y otros conceptos.

Para indicar que un objeto x pertenece a un conjunto A escribiremos

x en A.

Esto significa que x es uno de los enentos de A.

Por ejemplo, si

A = {1, 2, 3},

entonces

1 en A

y

3 en A.

En cambio,

4 noen A.

La relación de pertenencia se establece entre un objeto y un conjunto.

En

x en A,

x es un enento y A es un conjunto.

Cuando un conjunto tiene pocos enentos, podemos describirlo enumerándolos entre llaves.

Por ejemplo,

A = {1, 2, 3}.

El orden en que enumeramos los enentos no importa:

{1, 2, 3} = {3, 1, 2}.

Tampoco importa repetir un enento:

{1, 2, 2, 3} = {1, 2, 3}.

Un conjunto queda determinado por cuáles son sus enentos, no por el orden en que los escribamos ni por el número de veces que los repitamos.

Esto diferencia los conjuntos de otras estructuras, como las sucesiones, en las que el orden sí importa.

No siempre podemos o queremos enumerar todos los enentos de un conjunto. entre otros motivos, hay conjuntos que contienen infinitos elementos, y por tanto no pueden escribirse.

Podemos describir un conjunto indicando una propiedad que deben cumplir sus enentos.

Por ejemplo, podemos definir el conjunto de números reales positivos mediante

{x en R : x > 0}.

Esta expresión se lee:

“el conjunto de los x pertenecientes a R tales que x es mayor que 0”.

Otro ejemplo:

{x en R : x^2 = 4}

describe el conjunto

{-2, 2}.

En general,

{x en A : P(x)}

representa el conjunto formado por los enentos x de A que satisfacen la propiedad P.

Decimos que A es un subconjunto de B cuando todos los enentos de A pertenecen también a B.

Lo escribiremos

A sub B.

Formalmente,

A sub B <-> pt x: x en A -> x en B.

Por ejemplo,

{1, 2} sub {1, 2, 3}.

Todo conjunto es subconjunto de sí mismo:

A sub A.

También se cumple la transitividad de la inclusión.

Si

A sub B

y

B sub C,

entonces

A sub C.

Es importante distinguir

x en A

de

B sub A.

La primera expresión afirma que x es un enento de A.

La segunda afirma que B es un conjunto y que todos sus enentos pertenecen a A.

Por ejemplo, si

A = {1, 2, 3},

entonces

1 en A

y

{1} sub A.

Pero estas dos afirmaciones expresan relaciones diferentes.

Además, en general no podemos intercambiarlas.

Por ejemplo,

{1} en A

es falso para el conjunto A anterior, porque los enentos de A son 1, 2 y 3, no el conjunto {1}.

Existe un conjunto que no contiene ningún enento. Lo llamamos conjunto vacío y escribiremos

{}

Por definición,

no(exi x: x en {}).

El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto:

{} sub A.

Para comprobarlo, tendríamos que encontrar algún enento del conjunto vacío que no perteneciera a A.

Pero el conjunto vacío no tiene enentos.

Por tanto, no existe ningún enento que pueda incumplir la condición requerida para ser subconjunto de A.

Esta es una aplicación de la verdad vacía: una afirmación universal sobre los enentos de un conjunto vacío es verdadera porque no existe ningún enento que pueda constituir un contraejemplo.

Dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen exactamente los mismos enentos.

Por tanto,

A = B

si y sólo si todo enento de A pertenece a B y todo enento de B pertenece a A.

Simbólicamente,

A = B <-> (pt x: x en A -> x en B) y (pt x: x en B -> x en A).

Esto es equivalente a predicar que

A sub B y B sub A.

Esta propiedad proporciona una técnica muy común para demostrar la igualdad entre dos conjuntos.

Para demostrar

A = B,

podemos demostrar por separado:

• Todo enento de A pertenece a B (A sub B).
• Todo enento de B pertenece a A (B sub A).

Este procedimiento se denomina demostración por doble inclusión.

Podemos construir nuevos conjuntos a partir de otros mediante diferentes operaciones.

La unión de dos conjuntos A y B contiene los enentos que pertenecen a A, a B o a ambos.

Escribiremos

A union B.

Formalmente,

x en (A union B) <-> x en A o x en B.

Por ejemplo, si

A = {1, 2, 3}

y

B = {3, 4, 5},

entonces

A union B = {1, 2, 3, 4, 5}.

El enento 3 aparece una sola vez porque la repetición de enentos no altera un conjunto.

La intersección de A y B contiene los enentos que pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos.

Escribiremos

A inter B.

Formalmente,

x en (A inter B) <-> x en A y x en B.

En el ejemplo anterior,

A inter B = {3}.

Si dos conjuntos no tienen ningún enento en común, su intersección es el conjunto vacío:

A inter B = {}.

En ese caso decimos que A y B son disjuntos.

La definición de un conjunto por enumeración de sus miembros se llama extensional, y por las propiedades suficientes se denomina intensional.

La diferencia entre A y B contiene los enentos que pertenecen a A pero no pertenecen a B.

Escribiremos

A \ B.

Formalmente,

x en (A \ B) <-> x en A y x noen B.

Por ejemplo, si

A = {1, 2, 3}

y

B = {3, 4, 5},

entonces

A \ B = {1, 2}.

La diferencia no es conmutativa.

En general,

A \ B != B \ A.

En nuestro ejemplo,

B \ A = {4, 5}.

Si estamos trabajando dentro de un conjunto U que contiene todos los objetos que estamos considerando, podemos definir el complemento de A respecto de U.

El complemento contiene los enentos de U que no pertenecen a A.

Podemos escribir

U \ A.

Por tanto,

x en (U \ A) <-> x en U y x noen A.

El complemento siempre depende del conjunto respecto del cual se toma.

Por ejemplo, el complemento de

A = {1, 2}

no significa nada por sí solo si no sabemos qué conjunto estamos utilizando como referencia.

La unión y la intersección son conmutativas:

A union B = B union A

A inter B = B inter A.

También son asociativas:

(A union B) union C = A union (B union C)

(A inter B) inter C = A inter (B inter C).

Y cada una distribuye sobre la otra:

A inter (B union C) = (A inter B) union (A inter C)

A union (B inter C) = (A union B) inter (A union C).

Estas propiedades pueden demostrarse utilizando la definición de igualdad de conjuntos.

Por ejemplo, para demostrar

A inter (B union C) = (A inter B) union (A inter C),

podemos tomar un enento arbitrario x y estudiar las condiciones necesarias para que pertenezca a cada lado.

Tenemos

x en A inter (B union C)

si y sólo si

x en A y (x en B o x en C).

Por la distributividad de la conjunción lógica,

(x en A y x en B) o (x en A y x en C).

Esto equivale a

x en (A inter B) union (A inter C).

Por tanto, ambos conjuntos contienen exactamente los mismos enentos y son iguales.

Este ejemplo muestra la estrecha relación existente entre las operaciones con conjuntos y las operaciones de la lógica proposicional.

Dado un conjunto A, podemos considerar el conjunto formado por todos los subconjuntos de A.

Lo llamamos conjunto potencia de A y escribiremos

P(A).

Por definición,

B en P(A) <-> B sub A.

Por ejemplo, si

A = {1, 2},

entonces

P(A) = 1_2_1_2.

Obsérvese aquí especialmente la diferencia entre pertenencia e inclusión:

{1} sub A

y, por ello,

{1} en P(A).

En un conjunto ordinario, el orden de los enentos no importa:

{a, b} = {b, a}.

Sin embargo, en muchas situaciones necesitamos representar dos objetos distinguiendo cuál ocupa la primera posición y cuál la segunda.

Utilizaremos para ello un par ordenado:

(a, b).

En general,

(a, b) != (b, a).

Dos pares ordenados son iguales exactamente cuando coinciden sus componentes correspondientes:

(a, b) = (c, d) <-> a = c y b = d.

Los pares ordenados pueden construirse formalmente mediante conjuntos, pero para los propósitos de este artículo utilizaremos directamente las propiedades anteriores.

Dados dos conjuntos A y B, el producto cartesiano

A x B

es el conjunto de todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece a A y cuya segunda componente pertenece a B.

Formalmente,

A x B = {(a,b) : a en A y b en B}.

Por ejemplo, si

A = {1, 2}

y

B = {a, b},

entonces

A x B = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b)}.

En general,

A x B != B x A,

porque los pares ordenados distinguen entre su primera y su segunda componente.

El producto cartesiano será especialmente importante para definir relaciones y funciones.

Los intervalos de números reales son conjuntos definidos mediante desigualdades.

Por ejemplo,

{x en R : 0 < x < 1}

es el conjunto de todos los números reales estrictamente comprendidos entre 0 y 1.

Podemos utilizar una notación abreviada para los intervalos.

El intervalo abierto entre a y b contiene los números estrictamente comprendidos entre ambos:

(a,b) = {x en R : a < x < b}.

El intervalo cerrado incluye también sus extremos:

[a,b] = {x en R : a <= x <= b}.

También podemos incluir solamente uno de los extremos:

[a,b) = {x en R : a <= x < b}

(a,b] = {x en R : a < x <= b}.

Esta notación será especialmente útil al estudiar funciones, límites y continuidad.

Resolver una ecuación o desigualdad puede entenderse como encontrar un conjunto.

Por ejemplo, la desigualdad

x^2 < 4

tiene como conjunto de soluciones

{x en R : x^2 < 4}.

Como

x^2 < 4

equivale a

-2 < x < 2,

podemos escribir el conjunto de soluciones como

(-2,2).

Este punto de vista permite tratar de la misma manera ecuaciones, desigualdades y otras condiciones matemáticas: buscamos el conjunto de objetos que satisfacen una determinada propiedad.

• x en A: x pertenece al conjunto A.
• x noen A: x no pertenece al conjunto A.
• A sub B: A es subconjunto de B.
• {}: conjunto sin enentos.
• A union B: unión de A y B.
• A inter B: intersección de A y B.
• A \ B: enentos de A que no pertenecen a B.
• P(A): conjunto de todos los subconjuntos de A.
• (a,b): par ordenado formado por a y b.
• A x B: producto cartesiano de A y B.
• {x en A : P(x)}: enentos de A que satisfacen la propiedad P.
• (a,b): intervalo abierto entre los números reales a y b.
• [a,b]: intervalo cerrado entre los números reales a y b.

Sean

A = {1, 2, 3}

y

B = {2, 3, 4}.

Calcula:

* A union B. * A inter B. * A \ B. * B \ A.

Sean

A = {1, 2}

y

B = {a, b, c}.

Escribe todos los enentos de

A x B.

Sea

A = {1, 2, 3}.

Determina cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas:

* 1 en A. * {1} en A. * {1} sub A. * {} sub A. * {} en A.

Explica la diferencia entre las respuestas.

Escribe el conjunto potencia de

A = {a, b, c}.

Describe mediante desigualdades el intervalo

[-2,5).

Describe mediante notación de intervalo el conjunto

{x en R : 3 < x <= 7}.

Demuestra que

A inter B sub A.

Demuestra mediante doble inclusión que

A union {} = A.

Demuestra que

A inter (B union C) = (A inter B) union (A inter C).

A union B = {1, 2, 3, 4}.

A inter B = {2, 3}.

A \ B = {1}.

B \ A = {4}.

A x B = {(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c)}.

1 en A es verdadera.

{1} en A es falsa, porque {1} no es uno de los enentos enumerados en A.

{1} sub A es verdadera, porque el único enento de {1}, que es 1, pertenece a A.

{} sub A es verdadera, porque el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto.

{} en A es falsa, porque el conjunto vacío no aparece como enento de A.

Este ejercicio muestra que pertenencia e inclusión son relaciones diferentes.

Los subconjuntos de

A = {a, b, c}

son

{},

{a},

{b},

{c},

{a,b},

{a,c},

{b,c}

y

{a,b,c}.

Por tanto,

P(A) = a_b_c_a_b_a_c_b_c_a_b_c.

El intervalo

[-2,5)

es

{x en R : -2 <= x < 5}.

El conjunto

{x en R : 3 < x <= 7}

es el intervalo

(3,7].

Queremos demostrar

A inter B sub A.

Sea x un enento arbitrario de A inter B.

Por definición de intersección,

x en A

y

x en B.

En particular,

x en A.

Por tanto, todo enento de A inter B pertenece a A y hemos demostrado

A inter B sub A.

Queremos demostrar

A union {} = A.

Demostraremos ambas inclusiones.

Primero,

A union {} sub A.

Sea x en A union {}.

Por definición de unión,

x en A

o

x en {}.

El segundo caso es imposible porque {} no contiene ningún enento.

Por tanto,

x en A.

Hemos demostrado

A union {} sub A.

Ahora demostramos

A sub A union {}.

Sea x en A.

Por definición de unión, basta que x pertenezca a uno de los dos conjuntos para que

x en A union {}.

Por tanto,

A sub A union {}.

Como hemos demostrado ambas inclusiones,

A union {} = A.

Queremos demostrar

A inter (B union C) = (A inter B) union (A inter C).

Sea x un enento cualquiera.

Tenemos

x en A inter (B union C)

si y sólo si

x en A y x en (B union C).

Por definición de unión,

x en A y (x en B o x en C).

Por distributividad lógica,

(x en A y x en B) o (x en A y x en C).

Por definición de intersección,

x en (A inter B) o x en (A inter C).

Por definición de unión,

x en (A inter B) union (A inter C).

Hemos demostrado que

x en A inter (B union C) <-> x en (A inter B) union (A inter C).

Por tanto, ambos conjuntos tienen exactamente los mismos elementos y

A inter (B union C) = (A inter B) union (A inter C).

• A, B, C: letras mayúsculas utilizadas habitualmente para representar conjuntos.
• x en A: x pertenece al conjunto A.
• x noen A: x no pertenece al conjunto A.
• {a,b,c}: conjunto definido por extensión, cuyos elementos son a, b y c.
• {x en A : P(x)}: conjunto definido por comprensión, formado por los elementos x de A que cumplen la propiedad P.
• {}: conjunto vacío, que no contiene ningún elemento.
• A sub B: A es subconjunto de B; todo elemento de A pertenece también a B.
• A != B: A y B son conjuntos distintos.
• A union B: unión de A y B; contiene los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos.
• A inter B: intersección de A y B; contiene los elementos que pertenecen a A y también a B.
• A \ B: diferencia de A y B; contiene los elementos de A que no pertenecen a B.
• P(A): conjunto potencia de A; conjunto formado por todos los subconjuntos de A.
• card(A): cardinalidad de A; si A es finito, número de elementos que contiene.
• (a,b): par ordenado cuya primera componente es a y cuya segunda componente es b.
• A x B: producto cartesiano de A y B; conjunto de los pares (a,b) tales que a en A y b en B.
• (a,b): intervalo abierto de números reales entre a y b. El contexto permite distinguirlo de un par ordenado.
• [a,b]&#58; intervalo cerrado de números reales entre a y b.
• [a,b): intervalo de números reales que incluye a pero excluye b.
• (a,b]: intervalo de números reales que excluye a pero incluye b.