Los límites permiten describir el comportamiento de una sucesión infinita cuando avanzamos indefinidamente por sus términos.

También permiten estudiar el comportamiento de una función cuando su variable se aproxima a un valor determinado.

Por ejemplo, la sucesión

a_n = 1/n

tiene infinitos términos:

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...

Sus términos se aproximan cada vez más a 0, aunque ninguno de ellos sea exactamente 0.

Otras sucesiones no se aproximan a ningún valor.

Por ejemplo,

a_n = (-1)^n

produce

-1, 1, -1, 1, -1...

y continúa alternando indefinidamente.

Necesitamos una definición precisa que nos permita distinguir ambos casos.

El concepto de límite permite expresar esta idea con precisión.

Una sucesión es una función cuyo dominio son los números naturales.

Cada número natural n determina exactamente un término, que escribimos a_n.

Ejemplos:

a_n = n

produce

1, 2, 3, 4, ...

a_n = 2*n

produce

2, 4, 6, 8, ...

a_n = 1/n

produce

1, 1/2, 1/3, 1/4, ...

Diremos que una sucesión converge hacia un número L cuando, avanzando lo suficiente por la sucesión, todos sus términos permanecen tan cerca de L como deseemos.

Hay dos ideas importantes.

• Podemos exigir cualquier precisión.
• Siempre podremos avanzar lo suficiente para conseguirla.

La sucesión a_n converge al límite L si y sólo si

lim(a_n) = L <->
pt eps: eps > 0,
exi N:nat,
tq n:nat,
n >= N ->
|a_n - L| < eps

Atención: distingue cuidadosamente la diferencia entre N (n mayúscula), que es el índice de la sucesión a partir del que se cumple la propiedad exigida (estar lo bastante cerca del límite), y n (n minúscula) que es un índice arbitrario igual o superior a N.

La definición debe leerse lentamente.

Para todo eps mayor que cero...

Significa que la propiedad debe ser cierta para cualquier valor de eps que se escoja, por pequeño que sea.

Existe un número natural N...

Significa que debe existir un punto suficientemente avanzado de la sucesión. N puede depender de eps. Esta es la n mayúscula.

Para todo n mayor o igual que N...

Significa que no basta con que un término esté cerca del límite.

Todos los términos posteriores también deben estarlo.

|a_n - L| < eps

Significa que la distancia entre el término de la sucesión y el límite es menor que el margen de error exigido. El valor absoluto entre dos cantidades define su distancia.

Demostraremos que

a_n = 1/n

converge a 0.

Sea eps > 0.

Queremos encontrar un número natural N tal que

|1/n - 0| < eps

para todo n >= N.

Como n es un número natural,

|1/n| = 1/n

Luego basta exigir

1/n < eps

Como n es un número natural y por tanto mayor que cero, podemos multiplicar ambos lados por n sin cambiar la desigualdad:

1 < eps*n

Y como eps es positivo, podemos dividir ambos lados por eps.

1/eps < n

Que equivale a

n > 1/eps

Escogemos

N = techo(1/eps) + 1

Entonces N es un número natural y cumple

N > 1/eps

El motivo de esta elección y no de otras más simples es que nos asegura un valor correcto para N. si nos limitásemos a escoger 1/eps, podría no ser un número natural, y si escogemos techo(1/eps) y la división 1/eps es natural, por ejemplo si eps es 0.1 y 1/eps es 10, 1/(techo(1/eps))) no sería menor que eps, sino igual a eps.

Si n >= N,

también se cumple

n >= N > 1/eps

Por tanto,

1/n < eps

y, en consecuencia,

|1/n - 0| < eps.

Hemos demostrado que

lim(a_n) = 0

Consideremos la sucesión

a_n = (-1)^n

Sus términos son

-1, 1, -1, 1, ...

Supongamos que existiera un límite L.

Tomemos

eps = 1/2

Después de algún término N todos los valores deberían encontrarse a menos de 1/2 de L.

Sin embargo, la sucesión sigue alternando indefinidamente entre -1 y 1.

Estos dos números están separados por una distancia de 2. |1-(-1)| = 2.

Ningún número puede encontrarse simultáneamente a menos de 1/2 de ambos.

Por tanto, la sucesión no converge.

Una sucesión puede no converger por muchos motivos.

Crecer sin límite es uno de ellos, pero no el único.

También pueden oscilar indefinidamente o presentar comportamientos más complicados.

• continuidad
• derivada
• series

• a_n: término n-ésimo de una sucesión.
• lim(expr): límite de una expresión.
• eps: letra griega épsilon. Representa un margen de error positivo arbitrario.
• techo(x): menor número entero mayor o igual que x.
• pt: para todo.
• exi: existe.
• tq: tal que.
• |x|: valor absoluto de x.