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 ====== Límites: ======
+===== Motivación: =====
 Los límites son una herramienta matemática que nos permite determinar el comportamiento de secuencias ilimitadas y de funciones al acercarse a un punto determinado.
+A menudo se explican de manera informal antes de aprender cálculo diferencial (derivadas), pero una fundación cuidada y de principios del análisis típico debería contar con una buena comprensión de los límites.
+===== Recordatorios: =====
+En caso de duda, consulta la [[#notacion|guía de notación]].
+Una secuencia a_n es una serie ordenada de valores dependientes de n. Por ejemplo:
+a_n = n
+produce los siguientes valores: 1, 2, 3, 4, 5...
+a_n = 2n
+produce los siguientes valores: 2, 4, 6, 8, 10...
+a_n = 1/n
+produce los siguientes valores: 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5...
+===== Definiciones: =====
+==== Límite de una secuencia ====
+Los dos casos principales de límites son los de convergencia (una secuencia a_n se acerca indefinidamente a un límite determinado) y divergencia (en que la secuencia a_n crece indefinidamente hacia un valor infinito, positivo o negativo).
+Convergencia:
+En palabras:
+Una secuencia a_n converge hacia un límite L sólo si, para todo épsilon mayor que cero, existe un número natural N tal que el valor absoluto de la diferencia entre todo n mayor o igual que N y el límite L sea inferior a épsilon.
+Nota: préstese especial atención al hecho de que una n es mayúscula, y representa una variable libre dentro de los números naturales, y otra n es minúscula, y representa el valor de la secuencia a_n.
+Simbòlicamente:
+lim(a_n) = L <-> pt eps: eps > 0, exi N:nat, tq n: n >= N -> |n-L| < eps
+Explicación intuitiva:
+Dada la secuencia a_n, podemos escoger cualquier valor para épsilon, por pequeño que sea, siempre que sea mayor de cero, y encontrar un número natural después del cual todos los valores de la secuencia se mantienen a una distancia del límite inferior a épsilon.
+Ejemplos:
+a_n = 1/n
+Decimos que esta secuencia converge a 0.
+Sea un épsilon dado. (No nos importa cual.)
+Debemos demostrar que para ese épsilon siempre hay un número natural N, tal que todos los valores de a_n donde n es igual o superior a N tienen una diferencia con el límite (0) inferior a épsilon.
+Para ello, utilizamos la siguiente desigualdad:
+%%|%%a_n - L%%|%% < eps
+Sustituimos a_n por su valor:
+%%|%%1/n - L%%|%% < eps
+Sustituimos L por su valor, 0:
+%%|%%1/n - 0%%|%% < eps
+Simplificamos, restar 0 se puede eliminar, porque x-0=x para todo x:
+%%|%%1/n%%|%% < eps
+Multiplicamos ambos lados por %%|%%n%%|%%. Motivación: estamos intentando encontrar un valor para n, que nos asegure que la secuencia a partir de tal punto sea inferior a épsilon, y no es conveniente tener n en el denominador.
+%%|%%n%%|%%*%%|%%1/n%%|%% < %%|%%n%%|%%*eps
+Simplificamos, ya que el valor absoluto del producto de dos factores es igual al producto de los valores absolutos de cada factor.
+%%|%%n*1/n%%|%% < eps*%%|%%n%%|%%
+Simplificamos la parte izquierda:
+n*1/n = 1
+%%|%%1%%|%% < eps * %%|%%n%%|%%
+Podemos eliminar el valor absoluto de 1 y n, ya que el valor absoluto de 1 es constante, y es 1, y n es siempre un número natural positivo, ya que ha de ser igual o mayor que N, por lo que su valor absoluto es igual a si misma:
+< eps * n
+Despejamos n, moviendo eps de lado (formalmente, dividiendo ambos lados entre eps):
+/eps < n
+Ahora podemos dar la vuelta a la desigualdad:
+n > 1/eps
+Interpretación: para la sucesión a_n = 1/n, cualquiera que sea el épsilon que escojamos, debemos encontrar un n para el que el valor de la sucesión siempre sea menor que 1/eps. Ya que hemos derivado esta desigualdad de la definición de límite, nos sirve para acotar el valor de n.
+Escocgemos un valor para N: (1/eps)+1. Motivación: escogemos el número natural inmediatamente superior a 1/eps, que siempre será mayor que 1/eps.
+Dado N = (1/eps)+1 sabemos que para todo n igual o superior a N, 1/n > 1/eps+1, y por tanto, |1/n-0| < eps.
+Por consiguiente, para todo épsilon existen un valor de N (1/eps+1) tal que todo n igual o mayor que N, al restarle el límite 0 y obtener el valor absoluto, resulte inferior a eps.
+Esta es la dfinición de convergencia a un límite, por lo tanto podemos afirmar que 1/n converge al límite 0.
+QED.
+==== Notación: ====
+  * a_n: secuencia a dependiente de n. En tinta, n se representa como un superíndice de a.
+  * del: letra griega delta. Representa un incremento.
+  * eps: letra griega épsilon. Representa una cantidad arbitrariamente pequeña.
+  * lim(expr) : var -> val: Límite de la expresión expr, cuando la variable var tiende al valor val. Puede omitirse la variable y el valor cuando no son relevantes.
+  * inf: infinito. Puede ir acompañado de un signo + o - para indicar si es positivo o negativo.
+  * <->: si y sólo si.
+  * %%|%%expr%%|%%: valor absoluto de la expresión. Significa su valor presciendiendo de su signo.
+  * techo(n): función que tiene por dominio los números reales y por rango los naturales. El resultado de techo(n) es el número natural más cercano, igual o mayor que n.
+  * pt var:expr: para toda variable var delimitada por la expresión expr. Por ejemplo pt N:nat quiere decir para todo N que sea número natural.
+  * exi var:expr: existe una variable var con valor delimitado por la expresión expr.
+  * tq expr: tal que se cumple la expresión expr.