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conceptos:limites

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conceptos:limites [2025/08/06 11:52] – creado modulusconceptos:limites [2026/08/03 08:19] (actual) – modulus
Línea 1: Línea 1:
-====== Límites: ======+====== Límite de una sucesión ======
  
-Los límites son una herramienta matemática que nos permite determinar el comportamiento de secuencias ilimitadas y de funciones al acercarse a un punto determinado.+===== Motivación =====
  
 +Los límites permiten describir el comportamiento de una sucesión infinita
 +cuando avanzamos indefinidamente por sus términos.
  
 +También permiten estudiar el comportamiento de una función cuando su variable
 +se aproxima a un valor determinado.
 +
 +Por ejemplo, la sucesión
 +
 +a_n = 1/n
 +
 +tiene infinitos términos:
 +
 +1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...
 +
 +Sus términos se aproximan cada vez más a 0, aunque ninguno de ellos sea
 +exactamente 0.
 +
 +Otras sucesiones no se aproximan a ningún valor.
 +
 +Por ejemplo,
 +
 +a_n = (-1)^n
 +
 +produce
 +
 +-1, 1, -1, 1, -1...
 +
 +y continúa alternando indefinidamente.
 +
 +Necesitamos una definición precisa que nos permita distinguir ambos casos.
 +
 +El concepto de límite permite expresar esta idea con precisión.
 +
 +===== Recordatorios =====
 +
 +Una sucesión es una función cuyo dominio son los números naturales.
 +
 +Cada número natural n determina exactamente un término, que escribimos a_n.
 +
 +Ejemplos:
 +
 +a_n = n
 +
 +produce
 +
 +1, 2, 3, 4, ...
 +
 +a_n = 2*n
 +
 +produce
 +
 +2, 4, 6, 8, ...
 +
 +a_n = 1/n
 +
 +produce
 +
 +1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
 +
 +===== Idea intuitiva =====
 +
 +Diremos que una sucesión converge hacia un número L cuando, avanzando lo suficiente por la sucesión, todos sus términos permanecen tan cerca de L como deseemos.
 +
 +Hay dos ideas importantes.
 +
 +  * Podemos exigir cualquier precisión.
 +  * Siempre podremos avanzar lo suficiente para conseguirla.
 +
 +===== Definición =====
 +
 +La sucesión a_n converge al límite L si y sólo si
 +
 +lim(a_n) = L <->\\
 +pt eps: eps > 0,\\
 +exi N:nat,\\
 +tq n:nat,\\
 +n >= N ->\\
 +%%|a_n - L| < eps%%
 +
 +Atención: distingue cuidadosamente la diferencia entre N (n mayúscula), que es el índice de la sucesión a partir del que se cumple la propiedad exigida (estar lo bastante cerca del límite), y n (n minúscula) que es un índice arbitrario igual o superior a N.
 +
 +===== Cómo leer la definición =====
 +
 +La definición debe leerse lentamente.
 +
 +Para todo eps mayor que cero...
 +
 +Significa que la propiedad debe ser cierta para cualquier valor de eps que se escoja, por pequeño que sea.
 +
 +Existe un número natural N...
 +
 +Significa que debe existir un punto suficientemente avanzado de la sucesión. N puede depender de eps. Esta es la n mayúscula.
 +
 +Para todo n mayor o igual que N...
 +
 +Significa que no basta con que un término esté cerca del límite.
 +
 +Todos los términos posteriores también deben estarlo.
 +
 +%%|a_n - L| < eps%%
 +
 +Significa que la distancia entre el término de la sucesión y el límite es menor que el margen de error exigido. El valor absoluto entre dos cantidades define su distancia.
 +
 +===== Ejemplo =====
 +
 +Demostraremos que
 +
 +a_n = 1/n
 +
 +converge a 0.
 +
 +Sea eps > 0.
 +
 +Queremos encontrar un número natural N tal que
 +
 +%%|1/n - 0| < eps%%
 +
 +para todo n >= N.
 +
 +Como n es un número natural,
 +
 +%%|1/n| = 1/n%%
 +
 +Luego basta exigir
 +
 +1/n < eps
 +
 +Como n es un número natural y por tanto mayor que cero, podemos multiplicar ambos lados por n sin cambiar la desigualdad:
 +
 +1 < eps*n
 +
 +Y como eps es positivo, podemos dividir ambos lados por eps.
 +
 +1/eps < n
 +
 +Que equivale a
 +
 +n > 1/eps
 +
 +Escogemos
 +
 +N = techo(1/eps) + 1
 +
 +Entonces N es un número natural y cumple
 +
 +N > 1/eps
 +
 +El motivo de esta elección y no de otras más simples es que nos asegura un valor correcto para N. si nos limitásemos a escoger 1/eps, podría no ser un número natural, y si escogemos techo(1/eps) y la división 1/eps es natural, por ejemplo si eps es 0.1 y 1/eps es 10, 1/(techo(1/eps))) no sería menor que eps, sino igual a eps.
 +
 +Si n >= N,
 +
 +también se cumple
 +
 +n >= N > 1/eps
 +
 +Por tanto,
 +
 +1/n < eps
 +
 +y, en consecuencia,
 +
 +%%|1/n - 0| < eps.%%
 +
 +Hemos demostrado que
 +
 +lim(a_n) = 0
 +
 +===== Contraejemplo =====
 +
 +Consideremos la sucesión
 +
 +a_n = (-1)^n
 +
 +Sus términos son
 +
 +-1, 1, -1, 1, ...
 +
 +Supongamos que existiera un límite L.
 +
 +Tomemos
 +
 +eps = 1/2
 +
 +Después de algún término N todos los valores deberían encontrarse a menos de 1/2 de L.
 +
 +Sin embargo, la sucesión sigue alternando indefinidamente entre -1 y 1.
 +
 +Estos dos números están separados por una distancia de 2. |1-(-1)| = 2.
 +
 +Ningún número puede encontrarse simultáneamente a menos de 1/2 de ambos.
 +
 +Por tanto, la sucesión no converge.
 +
 +===== Observaciones =====
 +
 +Una sucesión puede no converger por muchos motivos.
 +
 +Crecer sin límite es uno de ellos, pero no el único.
 +
 +También pueden oscilar indefinidamente o presentar comportamientos más complicados.
 +
 +===== Véase también =====
 +
 +  * [[conceptos:continuidad]]
 +  * [[conceptos:derivada]]
 +  * [[conceptos:series]]
 +
 +===== Notación =====
 +
 +  * a_n: término n-ésimo de una sucesión.
 +  * lim(expr): límite de una expresión.
 +  * eps: letra griega épsilon. Representa un margen de error positivo arbitrario.
 +  * techo(x): menor número entero mayor o igual que x.
 +  * pt: para todo.
 +  * exi: existe.
 +  * tq: tal que.
 +  * |x|: valor absoluto de x.
conceptos/limites.1754481178.txt.gz · Última modificación: por modulus