Los límites son una herramienta matemática que nos permite determinar el comportamiento de secuencias ilimitadas y de funciones al acercarse a un punto determinado.

A menudo se explican de manera informal antes de aprender cálculo diferencial (derivadas), pero una fundación cuidada y de principios del análisis típico debería contar con una buena comprensión de los límites.

En caso de duda, consulta la guía de notación.

Una secuencia a_n es una serie ordenada de valores dependientes de n. Por ejemplo:

a_n = n

produce los siguientes valores: 1, 2, 3, 4, 5...

a_n = 2n

produce los siguientes valores: 2, 4, 6, 8, 10...

a_n = 1/n

produce los siguientes valores: 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5...

Los dos casos principales de límites son los de convergencia (una secuencia a_n se acerca indefinidamente a un límite determinado) y divergencia (en que la secuencia a_n crece indefinidamente hacia un valor infinito, positivo o negativo).

Convergencia:

En palabras:

Una secuencia a_n converge hacia un límite L sólo si, para todo épsilon mayor que cero, existe un número natural N tal que el valor absoluto de la diferencia entre todo n mayor o igual que N y el límite L sea inferior a épsilon.

Nota: préstese especial atención al hecho de que una n es mayúscula, y representa una variable libre dentro de los números naturales, y otra n es minúscula, y representa el valor de la secuencia a_n.

Simbòlicamente:

lim(a_n) = L <-> pt eps: eps > 0, exi N:nat, tq n: n >= N -> |n-L| < eps

Explicación intuitiva:

Dada la secuencia a_n, podemos escoger cualquier valor para épsilon, por pequeño que sea, siempre que sea mayor de cero, y encontrar un número natural después del cual todos los valores de la secuencia se mantienen a una distancia del límite inferior a épsilon.

Ejemplos:

a_n = 1/n

Decimos que esta secuencia converge a 0.

Sea un épsilon dado. (No nos importa cual.)

Debemos demostrar que para ese épsilon siempre hay un número natural N, tal que todos los valores de a_n donde n es igual o superior a N tienen una diferencia con el límite (0) inferior a épsilon.

Para ello, utilizamos la siguiente desigualdad:

|a_n - L| < eps

Sustituimos a_n por su valor:

|1/n - L| < eps

Sustituimos L por su valor, 0:

|1/n - 0| < eps

Simplificamos, restar 0 se puede eliminar, porque x-0=x para todo x:

|1/n| < eps

Multiplicamos ambos lados por |n|. Motivación: estamos intentando encontrar un valor para n, que nos asegure que la secuencia a partir de tal punto sea inferior a épsilon, y no es conveniente tener n en el denominador.

|n|*|1/n| < |n|*eps

Simplificamos, ya que el valor absoluto del producto de dos factores es igual al producto de los valores absolutos de cada factor.

|n*1/n| < eps*|n|

Simplificamos la parte izquierda:

n*1/n = 1

|1| < eps * |n|

Podemos eliminar el valor absoluto de 1 y n, ya que el valor absoluto de 1 es constante, y es 1, y n es siempre un número natural positivo, ya que ha de ser igual o mayor que N, por lo que su valor absoluto es igual a si misma:

1 < eps * n

Despejamos n, moviendo eps de lado (formalmente, dividiendo ambos lados entre eps):

1/eps < n

Ahora podemos dar la vuelta a la desigualdad:

n > 1/eps

Interpretación: para la sucesión a_n = 1/n, cualquiera que sea el épsilon que escojamos, debemos encontrar un n para el que el valor de la sucesión siempre sea menor que 1/eps. Ya que hemos derivado esta desigualdad de la definición de límite, nos sirve para acotar el valor de n.

Escocgemos un valor para N: techo(1/eps). Motivación: eps no tiene por que ser un número natural, y 1/eps puede no ser natural. Por tanto escogemos el número natural inmediatamente superior a 1/eps.

Dado N = techo(1/eps) sabemos que para todo n igual o superior a N, n > 1/eps, y por tanto, |1/n-0| < eps.

Por consiguiente, para todo épsilon existen un valor de N (techo(1/eps)) tal que todo n igual o mayor que N, al restarle el límite 0 y obtener el valor absoluto, resulte inferior a eps.

Esta es la dfinición de convergencia a un límite, por lo tanto podemos afirmar que 1/n converge al límite 0.

QED.

• a_n: secuencia a dependiente de n. En tinta, n se representa como un superíndice de a.
• del: letra griega delta. Representa un incremento.
• eps: letra griega épsilon. Representa una cantidad arbitrariamente pequeña.
• lim(expr) : var -> val: Límite de la expresión expr, cuando la variable var tiende al valor val. Puede omitirse la variable y el valor cuando no son relevantes.
• inf: infinito. Puede ir acompañado de un signo + o - para indicar si es positivo o negativo.
• <->: si y sólo si.
• |expr|: valor absoluto de la expresión. Significa su valor presciendiendo de su signo.
• techo(n): función que tiene por dominio los números reales y por rango los naturales. El resultado de techo(n) es el número natural más cercano, igual o mayor que n.
• pt var:expr: para toda variable var delimitada por la expresión expr. Por ejemplo pt N:nat quiere decir para todo N que sea número natural.
• exi var:expr: existe una variable var con valor delimitado por la expresión expr.
• tq expr: tal que se cumple la expresión expr.