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-====== Límites: ======
+====== Límite de una sucesión ======
-===== Motivación: =====
+===== Motivación =====
-Los límites son una herramienta matemática que nos permite determinar el comportamiento de secuencias ilimitadas y de funciones al acercarse a un punto determinado.
+Los límites permiten describir el comportamiento de una sucesión infinita
+cuando avanzamos indefinidamente por sus términos.
-A menudo se explican de manera informal antes de aprender cálculo diferencial (derivadas), pero una fundación cuidada y de principios del análisis típico debería contar con una buena comprensión de los límites.
+También permiten estudiar el comportamiento de una función cuando su variable
+se aproxima a un valor determinado.
-===== Recordatorios: =====
+Por ejemplo, la sucesión
-En caso de duda, consulta la [[#notacion|guía de notación]].
+a_n = 1/n
-Una secuencia a_n es una serie ordenada de valores dependientes de n. Por ejemplo:
+tiene infinitos términos:
+, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...
+Sus términos se aproximan cada vez más a 0, aunque ninguno de ellos sea
+exactamente 0.
+Otras sucesiones no se aproximan a ningún valor.
+Por ejemplo,
+a_n = (-1)^n
+produce
+-1, 1, -1, 1, -1...
+y continúa alternando indefinidamente.
+Necesitamos una definición precisa que nos permita distinguir ambos casos.
+El concepto de límite permite expresar esta idea con precisión.
+===== Recordatorios =====
+Una sucesión es una función cuyo dominio son los números naturales.
+Cada número natural n determina exactamente un término, que escribimos a_n.
+Ejemplos:
 a_n = n
-produce los siguientes valores: 1, 2, 3, 4, 5...
+produce
-a_n = 2n
+, 2, 3, 4, ...
-produce los siguientes valores: 2, 4, 6, 8, 10...
+a_n = 2*n
+produce
+, 4, 6, 8, ...
 a_n = 1/n
-produce los siguientes valores: 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5...
+produce
+, 1/2, 1/3, 1/4, ...
+===== Idea intuitiva =====
+Diremos que una sucesión converge hacia un número L cuando, avanzando lo suficiente por la sucesión, todos sus términos permanecen tan cerca de L como deseemos.
+Hay dos ideas importantes.
+  * Podemos exigir cualquier precisión.
+  * Siempre podremos avanzar lo suficiente para conseguirla.
+===== Definición =====
+La sucesión a_n converge al límite L si y sólo si
+lim(a_n) = L <->\\
+pt eps: eps > 0,\\
+exi N:nat,\\
+tq n:nat,\\
+n >= N ->\\
+%%|a_n - L| < eps%%
+Atención: distingue cuidadosamente la diferencia entre N (n mayúscula), que es el índice de la sucesión a partir del que se cumple la propiedad exigida (estar lo bastante cerca del límite), y n (n minúscula) que es un índice arbitrario igual o superior a N.
+===== Cómo leer la definición =====
+La definición debe leerse lentamente.
+Para todo eps mayor que cero...
+Significa que la propiedad debe ser cierta para cualquier valor de eps que se escoja, por pequeño que sea.
+Existe un número natural N...
+Significa que debe existir un punto suficientemente avanzado de la sucesión. N puede depender de eps. Esta es la n mayúscula.
+Para todo n mayor o igual que N...
+Significa que no basta con que un término esté cerca del límite.
+Todos los términos posteriores también deben estarlo.
+%%|a_n - L| < eps%%
+Significa que la distancia entre el término de la sucesión y el límite es menor que el margen de error exigido. El valor absoluto entre dos cantidades define su distancia.
+===== Ejemplo =====
+Demostraremos que
+a_n = 1/n
+converge a 0.
+Sea eps > 0.
+Queremos encontrar un número natural N tal que
+%%|1/n - 0| < eps%%
+para todo n >= N.
+Como n es un número natural,
+%%|1/n| = 1/n%%
+Luego basta exigir
+/n < eps
+Como n es un número natural y por tanto mayor que cero, podemos multiplicar ambos lados por n sin cambiar la desigualdad:
+< eps*n
+Y como eps es positivo, podemos dividir ambos lados por eps.
+/eps < n
+Que equivale a
+n > 1/eps
+Escogemos
+N = techo(1/eps) + 1
+Entonces N es un número natural y cumple
+N > 1/eps
+El motivo de esta elección y no de otras más simples es que nos asegura un valor correcto para N. si nos limitásemos a escoger 1/eps, podría no ser un número natural, y si escogemos techo(1/eps) y la división 1/eps es natural, por ejemplo si eps es 0.1 y 1/eps es 10, 1/(techo(1/eps))) no sería menor que eps, sino igual a eps.
+Si n >= N,
+también se cumple
+n >= N > 1/eps
+Por tanto,
+/n < eps
+y, en consecuencia,
+%%|1/n - 0| < eps.%%
+Hemos demostrado que
+lim(a_n) = 0
+===== Contraejemplo =====
+Consideremos la sucesión
+a_n = (-1)^n
+Sus términos son
+-1, 1, -1, 1, ...
+Supongamos que existiera un límite L.
+Tomemos
+eps = 1/2
+Después de algún término N todos los valores deberían encontrarse a menos de 1/2 de L.
+Sin embargo, la sucesión sigue alternando indefinidamente entre -1 y 1.
+Estos dos números están separados por una distancia de 2. |1-(-1)| = 2.
+Ningún número puede encontrarse simultáneamente a menos de 1/2 de ambos.
+Por tanto, la sucesión no converge.
+===== Observaciones =====
+Una sucesión puede no converger por muchos motivos.
+Crecer sin límite es uno de ellos, pero no el único.
+También pueden oscilar indefinidamente o presentar comportamientos más complicados.
-==== Notación: ====
+===== Véase también =====
-  * a_n: secuencia a dependiente de n. En tinta, n se representa como un superíndice de a.
+  * [[conceptos:continuidad]]
-  * del: letra griega delta. Representa un incremento.
+  * [[conceptos:derivada]]
-  * eps: letra griega épsilon. Representa una cantidad arbitrariamente pequeña.
+  * [[conceptos:series]]
-  * lim(expr) : var -> val: Límite de la expresión expr, cuando la variable var tiende al valor val.
+===== Notación =====
+  * a_n: término n-ésimo de una sucesión.
+  * lim(expr): límite de una expresión.
+  * eps: letra griega épsilon. Representa un margen de error positivo arbitrario.
+  * techo(x): menor número entero mayor o igual que x.
+  * pt: para todo.
+  * exi: existe.
+  * tq: tal que.
+  * |x|: valor absoluto de x.