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-====== Límites: ======
+====== Límite de una sucesión ======
-===== Motivación: =====
+===== Motivación =====
-Los límites son una herramienta matemática que nos permite determinar el comportamiento de secuencias ilimitadas y de funciones al acercarse a un punto determinado.
+Los límites permiten describir el comportamiento de una sucesión infinita
+cuando avanzamos indefinidamente por sus términos.
-A menudo se explican de manera informal antes de aprender cálculo diferencial (derivadas), pero una fundación cuidada y de principios del análisis típico debería contar con una buena comprensión de los límites.
+También permiten estudiar el comportamiento de una función cuando su variable
+se aproxima a un valor determinado.
-===== Recordatorios: =====
+Por ejemplo, la sucesión
-En caso de duda, consulta la [[#notacion|guía de notación]].
+a_n = 1/n
-Una secuencia a_n es una serie ordenada de valores dependientes de n. Por ejemplo:
+tiene infinitos términos:
+, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...
+Sus términos se aproximan cada vez más a 0, aunque ninguno de ellos sea
+exactamente 0.
+Otras sucesiones no se aproximan a ningún valor.
+Por ejemplo,
+a_n = (-1)^n
+produce
+-1, 1, -1, 1, -1...
+y continúa alternando indefinidamente.
+Necesitamos una definición precisa que nos permita distinguir ambos casos.
+El concepto de límite permite expresar esta idea con precisión.
+===== Recordatorios =====
+Una sucesión es una función cuyo dominio son los números naturales.
+Cada número natural n determina exactamente un término, que escribimos a_n.
+Ejemplos:
 a_n = n
-produce los siguientes valores: 1, 2, 3, 4, 5...
+produce
-a_n = 2n
+, 2, 3, 4, ...
-produce los siguientes valores: 2, 4, 6, 8, 10...
+a_n = 2*n
+produce
+, 4, 6, 8, ...
 a_n = 1/n
-produce los siguientes valores: 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5...
+produce
-===== Definiciones: =====
+, 1/2, 1/3, 1/4, ...
-==== Límite de una secuencia ====
+===== Idea intuitiva =====
-Los dos casos principales de límites son los de convergencia (una secuencia a_n se acerca indefinidamente a un límite determinado) y divergencia (en que la secuencia a_n crece indefinidamente hacia un valor infinito, positivo o negativo).
+Diremos que una sucesión converge hacia un número L cuando, avanzando lo suficiente por la sucesión, todos sus términos permanecen tan cerca de L como deseemos.
-Convergencia:
+Hay dos ideas importantes.
-En palabras:
+  * Podemos exigir cualquier precisión.
+  * Siempre podremos avanzar lo suficiente para conseguirla.
-Una secuencia a_n converge hacia un límite L sólo si, para todo épsilon mayor que cero, existe un número natural N tal que el valor absoluto de la diferencia entre todo n mayor o igual que N y el límite L sea inferior a épsilon.
+===== Definición =====
-Nota: préstese especial atención al hecho de que una n es mayúscula, y representa una variable libre dentro de los números naturales, y otra n es minúscula, y representa el valor de la secuencia a_n.
+La sucesión a_n converge al límite L si y sólo si
-Simbòlicamente:
+lim(a_n) = L <->\\
+pt eps: eps > 0,\\
+exi N:nat,\\
+tq n:nat,\\
+n >= N ->\\
+%%|a_n - L| < eps%%
-lim(a_n) = L <-> pt eps: eps > 0, exi N:nat, tq n: n >= N -> |n-L| < eps
+Atención: distingue cuidadosamente la diferencia entre N (n mayúscula), que es el índice de la sucesión a partir del que se cumple la propiedad exigida (estar lo bastante cerca del límite), y n (n minúscula) que es un índice arbitrario igual o superior a N.
-Explicación intuitiva:
+===== Cómo leer la definición =====
-Dada la secuencia a_n, podemos escoger cualquier valor para épsilon, por pequeño que sea, siempre que sea mayor de cero, y encontrar un número natural después del cual todos los valores de la secuencia se mantienen a una distancia del límite inferior a épsilon.
+La definición debe leerse lentamente.
-Ejemplos:
+Para todo eps mayor que cero...
-a_n = 1/n
+Significa que la propiedad debe ser cierta para cualquier valor de eps que se escoja, por pequeño que sea.
-Decimos que esta secuencia converge a 0.
+Existe un número natural N...
-Sea un épsilon dado. (No nos importa cual.)
+Significa que debe existir un punto suficientemente avanzado de la sucesión. N puede depender de eps. Esta es la n mayúscula.
-Debemos demostrar que para ese épsilon siempre hay un número natural N, tal que todos los valores de a_n donde n es igual o superior a N tienen una diferencia con el límite (0) inferior a épsilon.
+Para todo n mayor o igual que N...
-Para ello, utilizamos la siguiente desigualdad:
+Significa que no basta con que un término esté cerca del límite.
-%%|%%a_n - L%%|%% < eps
+Todos los términos posteriores también deben estarlo.
-Sustituimos a_n por su valor:
+%%|a_n - L| < eps%%
-%%|%%1/n - L%%|%% < eps
+Significa que la distancia entre el término de la sucesión y el límite es menor que el margen de error exigido. El valor absoluto entre dos cantidades define su distancia.
-Sustituimos L por su valor, 0:
+===== Ejemplo =====
-%%|%%1/n - 0%%|%% < eps
+Demostraremos que
-Simplificamos, restar 0 se puede eliminar, porque x-0=x para todo x:
+a_n = 1/n
-%%|%%1/n%%|%% < eps
+converge a 0.
-Multiplicamos ambos lados por %%|%%n%%|%%. Motivación: estamos intentando encontrar un valor para n, que nos asegure que la secuencia a partir de tal punto sea inferior a épsilon, y no es conveniente tener n en el denominador.
+Sea eps > 0.
-%%|%%n%%|%%*%%|%%1/n%%|%% < %%|%%n%%|%%*eps
+Queremos encontrar un número natural N tal que
-Simplificamos, ya que el valor absoluto del producto de dos factores es igual al producto de los valores absolutos de cada factor.
+%%|1/n - 0| < eps%%
-%%|%%n*1/n%%|%% < eps*%%|%%n%%|%%
+para todo n >= N.
-Simplificamos la parte izquierda:
+Como n es un número natural,
-n*1/n = 1
+%%|1/n| = 1/n%%
-%%|%%1%%|%% < eps * %%|%%n%%|%%
+Luego basta exigir
-Podemos eliminar el valor absoluto de 1 y n, ya que el valor absoluto de 1 es constante, y es 1, y n es siempre un número natural positivo, ya que ha de ser igual o mayor que N, por lo que su valor absoluto es igual a si misma:
+/n < eps
-< eps * n
+Como n es un número natural y por tanto mayor que cero, podemos multiplicar ambos lados por n sin cambiar la desigualdad:
-Despejamos n, moviendo eps de lado (formalmente, dividiendo ambos lados entre eps):
+< eps*n
+Y como eps es positivo, podemos dividir ambos lados por eps.
 /eps < n
-Ahora podemos dar la vuelta a la desigualdad:
+Que equivale a
 n > 1/eps
-Interpretación: para la sucesión a_n = 1/n, cualquiera que sea el épsilon que escojamos, debemos encontrar un n para el que el valor de la sucesión siempre sea menor que 1/eps. Ya que hemos derivado esta desigualdad de la definición de límite, nos sirve para acotar el valor de n.
+Escogemos
+N = techo(1/eps) + 1
+Entonces N es un número natural y cumple
+N > 1/eps
+El motivo de esta elección y no de otras más simples es que nos asegura un valor correcto para N. si nos limitásemos a escoger 1/eps, podría no ser un número natural, y si escogemos techo(1/eps) y la división 1/eps es natural, por ejemplo si eps es 0.1 y 1/eps es 10, 1/(techo(1/eps))) no sería menor que eps, sino igual a eps.
+Si n >= N,
+también se cumple
+n >= N > 1/eps
+Por tanto,
+/n < eps
+y, en consecuencia,
+%%|1/n - 0| < eps.%%
+Hemos demostrado que
+lim(a_n) = 0
+===== Contraejemplo =====
+Consideremos la sucesión
+a_n = (-1)^n
+Sus términos son
-Escocgemos un valor para N: techo(1/eps). Motivación: eps no tiene por que ser un número natural, y 1/eps puede no ser natural. Por tanto escogemos el número natural inmediatamente superior a 1/eps.
+-1, 1, -1, 1, ...
-Dado N = techo(1/eps) sabemos que para todo n igual o superior a N, n > 1/eps, y por tanto, |1/n-0| < eps.
+Supongamos que existiera un límite L.
-Por consiguiente, para todo épsilon existen un valor de N (techo(1/eps)) tal que todo n igual o mayor que N, al restarle el límite 0 y obtener el valor absoluto, resulte inferior a eps.
+Tomemos
-Esta es la dfinición de convergencia a un límite, por lo tanto podemos afirmar que 1/n converge al límite 0.
+eps = 1/2
-QED.
+Después de algún término N todos los valores deberían encontrarse a menos de 1/2 de L.
-==== Notación: ====
+Sin embargo, la sucesión sigue alternando indefinidamente entre -1 y 1.
-  * a_n: secuencia a dependiente de n. En tinta, n se representa como un superíndice de a.
+Estos dos números están separados por una distancia de 2. |1-(-1)| = 2.
-  * del: letra griega delta. Representa un incremento.
-  * eps: letra griega épsilon. Representa una cantidad arbitrariamente pequeña.
-  * lim(expr) : var -> val: Límite de la expresión expr, cuando la variable var tiende al valor val. Puede omitirse la variable y el valor cuando no son relevantes.
-  * inf: infinito. Puede ir acompañado de un signo + o - para indicar si es positivo o negativo.
-  * <->: si y sólo si.
-  * %%|%%expr%%|%%: valor absoluto de la expresión. Significa su valor presciendiendo de su signo.
-  * techo(n): función que tiene por dominio los números reales y por rango los naturales. El resultado de techo(n) es el número natural más cercano, igual o mayor que n.
-  * pt var:expr: para toda variable var delimitada por la expresión expr. Por ejemplo pt N:nat quiere decir para todo N que sea número natural.
-  * exi var:expr: existe una variable var con valor delimitado por la expresión expr.
-  * tq expr: tal que se cumple la expresión expr.
+Ningún número puede encontrarse simultáneamente a menos de 1/2 de ambos.
+Por tanto, la sucesión no converge.
+===== Observaciones =====
+Una sucesión puede no converger por muchos motivos.
+Crecer sin límite es uno de ellos, pero no el único.
+También pueden oscilar indefinidamente o presentar comportamientos más complicados.
+===== Véase también =====
+  * [[conceptos:continuidad]]
+  * [[conceptos:derivada]]
+  * [[conceptos:series]]
+===== Notación =====
+  * a_n: término n-ésimo de una sucesión.
+  * lim(expr): límite de una expresión.
+  * eps: letra griega épsilon. Representa un margen de error positivo arbitrario.
+  * techo(x): menor número entero mayor o igual que x.
+  * pt: para todo.
+  * exi: existe.
+  * tq: tal que.
+  * |x|: valor absoluto de x.